资源简介

6.4.3余弦定理、正弦定理第一课时：《余弦定理》教学设计
课题 《余弦定理》
授课教师 朱** 课时 1课时 课型 新课
教材分析 本节课位于人教版新教材高中地理必修第二册第四章6.4.3。本章的章的主题是：平面向量及其应用。余弦定理、正弦定理作为向量的应用的内容，教材上把这一节内容分为三个课时，第一课时为：余弦定理，第二课时为：余弦定理。第三课时为：余弦定理、正弦定理的应用举例；本次教学内容为第一课时余弦定理。 本节课的内容是在在初中我们已经学过直角三角形中的边角关系：如勾股定理、锐角三角函数，对一般三角形，也定性地研究过三角形的边、角关系，得到等判定三角形全等的方法.在判定方法中给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.也是高中阶段《平面向量》数量积的应用的延伸。 本节课在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系 ”要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解，求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系。
核心素养 1.借助于情境引入，培养学生发现数学问题的能力，培养学生数学抽象素养 2.利用向量推导余弦定理，培养数学推论和运算素养。
教学目标 知识与技能：余弦定理的向量证明方法以及余弦定理的两种表示形式及，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。培养数学语言的表达能力以及转化能力。
过程与方法：通过探究、讨论的过程中，在老师的引导下，解决利用余弦定理求解三角形的过程与方法。培养利用知识解决生活问题的能力、总结归纳能力。
情感与态度：在学习过程中，体现“方程的思想”以及“数形结合”的思想，感受余弦定理在生活的应用的意义。同时，培养学生合作交流、团结的精神，激发学习兴趣.
教学重点 余弦定理的两种形式及其应用
教学难点 余弦定理推导及其应用
教法与学法 问题引导法、任务驱动法、讨论法、多媒体辅助教学。
教学过程
创设情境
一架飞机从地飞往地（如图1），两地相距700km.飞行员为了避开雷雨云层，飞机起飞后，先沿与原方向成的方向飞行了500km，再改变方向，沿直线飞行抵达终点.这次飞行路程比原来的700km远了多少呢？
问题1.想要解决这一实际问题可以将其转化为怎样的数学问题呢？（如图2）
问题2.已知一个三角形两边及其夹角，第三边是唯一确定的吗？如何求呢？
二、新知探究：（小组合作）探究求三角形第三边的方法
探究一：如图，在ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b和C，怎样求边c．
问题3：解决上述问题中，你能想到什么方法？
问题4：初中学过哪些三角形边角关系？
问题5：平面向量哪个知识涉及到两边及其夹角？
（学生讨论完成）方法一：（向量法）
由于涉及边长及其夹角问题，从而可以考虑用向量的 来研究这个问题。
如图，设，，，那么，
所以
思考1：你还有其他方法吗？
向量的数量积还可以如何运算？
三、新知讲解：（教师引导，学生总结）余弦定理
文字语言：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．即：
符号语言：
a2＝_____________________，
b2＝_____________________，
c2＝_____________________.
思考3：余弦定理能解决哪一类三角形呢问题呢？
练习1：在△ABC中，已知，,C=120°，求.
思考4：从方程的角度看已知两边及其夹角，可以求第三边（即SAS），能否再求出三角形的角吗？
cos A＝ ，
cos B＝ ，
cos C＝ ．
思考：练习1能求出其他两个角吗？
思考5:余弦定理与勾股定理有什么关系？
若C=，则 ，；
小结：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
探究二:一般地，三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做 .
四、例题讲解
类型一：已知两边及夹角求第三边
例1．在 中，已知解三角形.
类型二：已知三边解三角形
例2．在 中，角的对边分别为，若 ， ，，则最小角为多少？
五、当堂检测（指向评价任务四）
1.在中，已知,,，求．
2.在中，，求这个三角形的最大角
六、课堂小结：
1、余弦定理及其推论，
2、解三角形
3、余弦定理的应用 ：①一已知两边及其夹角解三角形
②已知三边解三角形
七：作业布置
1．在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于(　　 )
A．4 B． C．7 D．5
2.在△ABC中，，解三角形.
4.在△ABC中，
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝3∶5∶7，则C的大小是(　 　)
A． B． C． D．
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝a2＋c2－ac，则角B为(　 　)
A． B． C．或 D．或
7. 在△ABC中，试判断△ABC的形状.
八、板书设计
九、教学反思
余弦定理这一节课堂教学，我设计了6个环节：情境引入、基础知识梳理（包括：课前自学检测、基础知识探究、知识梳理）、新知探究（小组合作）、新知讲解（教师引导、学生总结）、例题讲解、课堂检测。教学环节层层递进，由浅入深，各环节学生都积极参与，师生互动情况比较好，学生学习认真，顺利完成教学内容，效果较好。不足之处有：板书偏少，课后作业没交代清楚。改进反思，板书内容增添解三角形，提高学生探究效率。教学是一门学无止境的艺术，我将在今后的工作中进一步探索、进一步完善教学环节，努力创造高效优质的数学课堂，让学生乐于学习数学、学习有用的数学。

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