资源简介

依 “法”牵“理” “理”“法”共进
—— 《两位数乘两位数》教学设计
【教学内容】 人教版小学数学三年级下册第 42 页。
【教学目标】
1.理解两位数乘两位数的算理， 掌握笔算方法，能正确笔算两位数乘两位数(不 进位)，能够解决一些简单的实际问题。
2.经历两位数乘两位的算理探索过程， 在辨析与讨论中， 初步感受笔算的合理 性与科学性。在学习过程中，逐步积累运算经验，发展运算能力。
3.通过学习与研究， 进一步培养学生乘法笔算的运算能力， 在对比与反思的过 程中，感受数学的严谨，建立学好数学的信心。
【教学重点】能正确笔算两位数乘两位数 (特别是竖式的格式)。
【教学难点】理解笔算两位数乘两位数背后的道理，领会计算的“阶段性”(即 多位数乘一位数是两位数乘两位数的基础，算法上，也应该得到进化。)
【课前思考】
在义务教育阶段， 有大量的整数、小数与分数的加减乘除运算， 这类知识被 称为程序性知识。学习这类程序性知识， 要遵循“认知、联系与自动化”三个阶 段。 认知阶段就是理解运算的意义、推演运算的算理；联系阶段就是推导、形成 运算的算法； 自动化阶段就是自如、快速地运用算法。推演运算的算理、推导运 算的算法是程序性知识课程与教学设计的关键。
算理表征的方式通常有三种类型。 一是直观表征，即通过直观图像来说明算 理。直观表征具象可见， 在表示整数乘整数时， 优势明显。 二是形式表征，即通 过演绎推理推演算理。 三是程序表征，即基于算理推导出算法、程序。
1.关于学生
学生已经学习了“多位数乘一位数”，理解了算理，掌握了算法。 学生可能 会有以下困惑：
(1)为什么竖式运算中间有两层？ 从算理上来看， 两位数乘两位数比两位 数乘一位数多了“一层”，怎样让学生明白“第二层”的“理”与“法”，是本课 的重点和难点。 ——追加：能不能是四层楼？它有什么优势？又有什么劣势？
(2) 为什么竖式运算要从个位算起？ (多位数乘一位也是这样。)能不能从 高位开始算起？
(3) 这样写竖式道理何在？ 学生实情来看，个别孩子已经会笔算两位数乘 两位数， 但其后的“理”能说得清道得明的， 却不多， 他们感受最深的是——这 样的笔算格式仅仅是一种规定，没有道理可寻。
2.关于教材
教材借用解决“买书问题”的现实情境， 引出两位数乘两位数， 并以该现实 问题为基石，帮助学生说竖式中的“理”。这利于两层竖式的计算与模型建构， 只不过这种理是基于“解释实际问题”的基础上展开的， 脱离了具体情境， 又无 法说清道明。如果站在计数单位(算理的一致性来看)，就是演绎推理。
3.关于教法学法
基于“学本位”设计教学流程， 开展教学活动。 学生已经学会了“多位数乘 一位数”，借助该本领去探索“两位数乘两位数”的新知，学生必然调用“旧经 验解决新问题”，从显性的“算法”出发， 追寻背后的“算理”，甚至打通整数乘
法内在的一致性， 有助于学生站在整体性视角看“乘法运算”。
【教学预设】
一、 直接引入，引爆思维
1.你会计算两位数乘两位数吗？ 动笔试一试：14×12
2.收集学生丰富的作品。
(1)竖式：正确的： 2 层/4 层(看学生实情)；
错误的： 1 层，格式错、得数对/得数格式都错；
2 层，格式错/得数错
(2)横式：正确的/错误的。
【设计意图】 面对这么一个极具挑战的问题， 学生第一想到的是竖式， 但是 列竖式时又会遇到如下困难：(1)不能一步计算；(2) 两步， 又不知道怎么写、 怎么算；(3) 仅从数字与数字运算的角度去思考 (而非从算理的角度审视竖式— —竖式是一种记录)。从多次实践来看，农村学生会正确列竖式的孩子不多。
二、 反馈研究，明确算理 【认知阶段】
1.呈现多种答案，初步判断哪种正确。
师：老师收集了一些同学的研究成果，我们一起来看 (师放生看) 。同一道题， 竟然有这么多种答案。看来， 两位数乘两位数，值得我们好好研究研究。
2.研究正确的竖式
(1)教学正例——作品一
师： 许多同学想到竖式，那咱们先从这个竖式开始吧。 你是怎么想的？ 生说……
追问 1：你这样计算，道理何在？
(教师相机呈现点子图， 学生在图上圈一圈， 阐述道理)，教师相机写出横式。 追问：谁听懂这种方法了？
生：他先把 12 分成 10 和 2，先算 14 乘 2 得 28，(指图)是这部分；再算 14 乘 10 得 140 (指图)，最后两把部分加起来。
师：现在听懂了吗？ 谁也来说一说这种方法。 ——指说 1 人。 师：有点意思，这个竖式巧妙地把两部分计算清楚地记录下来了。
对比： (呈现横式作品)，这个横式与它比较一下，好像……(差不多，无非就 是把这两部分的顺序交换了一下。)
(2) 作品二(108)
师：你是怎么想的？
生： 10 乘 10 得 100，4 乘 2 得 8，100 加 8 得 108。
师： 他也是分成了两部分， 好像，也对。 怎么答案不是 168 呢？ (呈现点子 图)谁能借助图来跟大家分析分析？ (引出四分法)
10×10=100 10×4=40 2×10=20 2×4=8
师： 哦，明白了，原来，他少算了两个部分。我们帮他补充一下。(列四层竖 式)
小结：有点意思，用这样的四层，竟然也可以得到答案 168。
(3) 对比 3 个 168，得到共识。
师：有同学还用一层竖式呢？(一层， 168)
师：比较这三种竖式，你有什么想说的？
生：一层，容易算错——呈现错误答案， 108 等
生：二层，只要调用我们以前两位数乘一位的本领，就可以了。
(4)呈现错误作品，学生快速分析。 (5)小结:同学们，让我们梳理一下刚才的学习过程：面对 14×12 这个新问 题， 有同学想到了横式、竖式来计算。 当讲不清道理时，可以请点子图来帮 助。你发现三者之间有什么联系吗？是呀， 看来，竖式就是把分两步的过程记 录了下来。
【设计意图】 以学生作品为载体， 初步筛选，聚焦竖式。 第一次对比，竖 式与点子图对比，沟通图、式、竖式的联系：作品一，学生用数理难以说清楚 时，点子图可以直观的呈现分开、计算的过程。教师相机在图中划分，记录横 式，蕴含其与竖式理的一致性。第二次对比，典型错例分析与点子图(作品 二) 又一次借用点子图，让学生明白错误的根源——少算了两个部分，此外， 还可以写成四部分的和。第三次对比， 通过三个 168 的对比， 初步感悟，两位 数乘两位数竖式写两层的合理性，以“多位数乘一位数”的经验为基础。
3.教学算法 【联系阶段】
(1) 板演，形成算法
师： 老师把这样的竖式记录在黑板上。
(手蒙住十位上的 1) 先用第 2 个因数个位上的 2 去乘第 1 个因数， 2 乘 14 得 28；
师：这是我们以前的本领呀，接着怎么算？
(手蒙住个位上的 2) 再用第 2 个因数十位上的 1 去乘第 1 个因数， 10 乘 14 得 140；
追问： 第二层，怎么算？ 0 可以省略吗？为什么？
(其一、 0 只是用来占位；其二、用第 2 个因数十位上的 1 去乘第 1 个因数， 得数的末位与十位对齐，即只要算 1 乘 14 得 14 的意思了。)
最后把它们相加。
师：咱们可以连起来说——先用第 2 个因数个位上的 2 去乘第 1 个因数， 2 乘 14 得 28，得数的末位与个位对齐；再用第 2 个因数十位上的 1 去乘第 1 个因 数， 1 乘 14 得 14，得数的末位与十位对齐；最后把两次乘得的数相加。
师：请你在纸上再写一写竖式，边写边说，你是怎么算的？
生说……
指说——课件呈现
【设计意图】 教学竖式，形成算法。教师示范——蕴含算法小结，理解第二 层中的 0 的处理；学生模仿，说算法，边记录边计算。
三、 巩固技能，深化算理【自动化阶段】
过渡：同学们，你掌握这个本领了吗？来，试一试。
(1)计算：先正例，再讨论错例，寻找原因
23×21= 43×12= 44×11=
师： 第 1 题你是怎么算的。 第 3 题， 这两个44，意思一样吗？
师：纠错。
(2)比较，沟通联系
师：同学们，这是我们以前学过的两位数乘一位数；这是今天的两位数乘两 位，你有什么想说的？
生：差不多；只不过今天在计算用两层，第二层个位的 0 可以不写……
师：我们回顾了以前学的，如果展望未来，三位数乘两位，你觉得可能会怎么 算？
小结：看来， 这些乘法竖式内部都有一定的关联， 每一步运算都需要多位数乘 一位数的经验， 使得每一种运算都具有一致性。
【设计意图】 一组跟进练习， 重在技能的形成， 尤其是两个 44，实际上是 440 与 44。通过“承前启后”，明白整数乘法计算方法的一致， 以多位数乘一位数为 基础的运算。
四、练习拓展
过渡： 学到这儿，相信大家对两位数乘两位数有了新的认识。请你填一填。 1.解决问题中的理。
一筒羽毛球有 12 个， 23 筒这样的羽毛球有多少个？
小结： 原来， 竖式不仅可以看出最后的结果， 还能看出运算中每一步蕴藏着的含 义，真清楚。
2.拓展练习
师：接下来，咱们不动笔，动动脑动动嘴，抢答吧！
(1)在计算 21 ×34 的时候， 2×4 表示( )。
①2×4 ②2×40 ③20×4 ④20×40
(2)在计算 21 ×34 的时候，同学们出现了下面这些答案， 你认为正确的是( )
①64 ②503 ③604 ④714
师：看来，有难度。为什么不选 1 号？ —— □□ × □□最小是( )位数。
师： 2 号为什么不行？(估算，末位判定)
师： 604 为什么是错误的？(呈现图形)
过渡：不错，现在数据大一点，你还能选吗？
(3) 计算 35×46，下列说法错误的是( )
①35×6+35×40
③30×40+5×6
②30×46+5×46
④30×40+30×6+5×40+5×6
小结： 看，数据比较大的情况下， 也可以先分开计算再相加。(呈现图形) 。既 可以分第一个因数， 也可以分开第 2 个因数； 既可以发成两部分， 也可以分成四 部分。
【设计意图】 拓展练习，关注的是运算的“理”。第 1 题，重在竖式的另一功 能，不仅看结果，还能看过程；第 2 题，题组练习。第(2)小题，引发估算思 考，渗透两位数乘两数最小是() 位数，借助图象让学生理解为 604 是错误的(易 错题)。第(3) 小题，从数字到算式的比较， 且已涉及到进位， 但其算理还是一 致的。同时，利用图来解释运算方法多样化的合理性。
五、总结全课
师：这节课，你有什么收获？
生：会算，能理解，能比较与之前的不同。(相机追问)
真好！ 学到这儿，你还有什么问题吗？
生：能不能从高位算起？
生：为什么要分成几个十和几个一？
师： 还有其它算法吗？
六、拓展延伸
1.画线算法
师： 你有什么新的发现？
2.铺地锦
【设计意图】 划线算法，基于“计数单位算法一致性”，由于学生基础原因指向 “渗透”的层面
七、板书设计
两位数乘两位数
14 × 12=168

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