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第一课时 空间直角坐标系
（一）教学内容：空间直角坐标系
（二）教学目标
1.通过对空间直角坐标系的建立，掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标，发展学生的数学运算和直观想象的学科核心素养.
2.类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示，关注其中维数带来的变化，培养学生的化归转化思想，提升直观想象和数学运算核心素养.
（三）教学重点及难点
1.重点
掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定.
2.难点
掌握空间向量的坐标表示.
（四）教学过程
新课导入：我们学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，就可以利用基底表示任意一个空间向量， 进而把空间向量的运算转化为基向量的运算，所以， 基底概念的引人为几何问题代数化奠定了基础.在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐 标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐 标的一一对应呢
问题1：如何建立空间直角坐标系呢？
师生活动：（1）教师引导学生建立空间直角坐标系. 在空间选定一点O和一个单位正交基底,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.
（2）教师追问：画空间直角坐标系时需要注意什么问题？什么是右手坐标系？
（3）学生看书后回答，教师补充完善
①画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分.
②在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的都是右手直角坐标系.
设计意图：借助于上节课内容，类比平面直角坐标系，引导学生建立空间直角坐标系，体会由二维到三维的过渡过程.
问题2：如何在空间直角坐标系中确定点的位置？在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示，对空间直角坐标系中的每一个点，是否也有类似的表示呢
师生活动：（1）学生思考后回答，结合长方体模型和教材18页练习第1题和第2题，例举实例，巩固概念。在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=xi+yj+zk.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.
（2）教师完善，总结强调
设计意图：回顾知识出发，提出问题，让学生感受到平面直角坐标系与空间直角坐标系的联系，类比平面向量及其坐标表示，从而学习空间向量及其坐标表示
问题3：平面向量可用一对有序实数(即它的坐标)表示，对空间直角坐标系中的向量，是否也有类似的表示呢
师生活动：（1）学生分组讨论探讨并画图说明，并说明符号(x,y,z)的双重意义，既可以表示点，又可以表示向量.
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做向量a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a=(x,y,z).
（2）教师找学生代表发言后完善概念。
设计意图：类比平面向量及其坐标表示，从而学习空间向量及其坐标表示，渗透类比和数形结合的数学思维.
教师追问：在空间直角坐标系Oxyz中,对空间任一点A，或任意一个向量，你能借助于几何直观确定它们的坐标(x,y,z)吗？
师生活动：（1）学生借助于图形去探究讲解，如图，过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点B，C和D.可以证明向量在x轴、y轴、z轴上的投影向量分别，且.设点B，C和D在x 轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点A (向量)的坐标为(x，y，z).所以将各个点在坐标轴上的射影求出，即可写出空间各点（或向量）的坐标．
（2）教师补充完善结论.
设计意图：学生直观探究，得出求坐标的方法，提升立体的直观想象，为后面空间向量的运算做好准备.
问题4：小练1.若a=3i+2j-k,且{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,则a的坐标为　(3,2,-1)
教师追问：在空间直角坐标系中,向量的坐标与终点P的坐标有何关系
答案:向量的坐标恰好是终点P的坐标,这就实现了空间基底到空间坐标系的转换.
小练2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底{}下的坐标为(2,1,-3).若分别以的方向为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系,则a的空间直角坐标为(　　)
A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3) C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)
答案:D　
解析:a=2-3=2-3=8j-i-9k=(-1,8,-9).
师生活动：教师PPT上面出现问题，学生快速回答，PPT显示答案
设计意图：使学生迅速巩固概念，展现“现学现用”的学习力.
问题5：【例1】　如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；
(2)求点N的坐标．
师生活动：教师PPT上面出现问题，学生独自解答，找学生回答，PPT显示正确答案.
设计意图：借助于长方体模型，求空间点的坐标，练习学生计算的准确度，加深学生对空间直角坐标系的认识.
【例2】如图，在长方体，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系
(1)写出， 四点的坐标；
(2)写出向量，，，的坐标.
师生活动：（1）教师PPT上面出现问题，学生在学案上独自解答；
（2）展示学生的解答过程，对照PPT显示的正确答案讲评.
设计意图：借助于长方体模型，在已经建立好空间直角系的条件下，求空间点和向量的坐标，练习学生计算的准确度.
【例3】如图，在直三棱柱ABC A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
师生活动：（1）教师提示思路：以点C为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，，分别用，，表示出来，再写出它们的坐标．
（2）学生独立解答，可以找不同学生到黑板上展示出来自己的解法.
（3）教师点评强调做题程序和注意事项
[解]　由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz，如图所示．
∴＝－＝＋－＝－＋，
∴的坐标为(1，－1,1)，而＝－＝－＋，∴的坐标为(1，－1,2)．
又∵＝－，∴的坐标为(－1,1，－2)．
设计意图：让学生体会不同的立体图形，建立空间直角系的 “恰当性”，如何利用向量的运算求空间向量的坐标，为下一节向量运算的坐标表示埋下伏笔.
问题6：本节课你学习到了什么知识？数学思想方法？
师生活动: 教师引导学生回顾本节课学习的内容，在学生独立思考的基础上，教师根据学生的回答，进一步引导学生以思维导图的形式总结本节课
设计意图:一方面引导学生反思本节课的重点，另一方面教给学生如何总结，提升学生的数学“学习力”.
（五）目标检测设计
方式一：一张小卷子，当堂检测，限时训练，有线上互动的可以学生直接提交评价
1．点M(－1,3，－4)在坐标平面Oxy，Ozx，Oyz内的射影的坐标分别是(　A　)
A．(－1,3,0)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)
B．(0,3，－4)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)
C．(－1,3,0)，(－1,3，－4)，(0,3，－4)
D．(0,0,0)，(－1,0,0)，(0,3,0)
2．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：
①点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；
②点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，－2，－3)；
③点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1,2，－3)．
其中正确说法的个数是(　C　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：在①中，由对称的性质得与点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故①不正确；在②中，由对称的性质得与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故②不正确；在③中，由对称的性质得与点P关于坐标平面Oxy对称的点的坐标为(1,2，－3)，故③正确，故选C.
3．已知i，j，k是空间直角坐标系Oxyz中x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则B点的坐标为(　D　)
A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k)
C．(1，－1，－1) D．不确定
解析：＝－i＋j－k，只能确定的坐标为(－1,1，－1)，而A点坐标不确定，所以B点坐标也不确定，故选D.
4．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　A　)
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
解析：＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故选A.
设计意图：当堂检测学生对这节课的学习情况和对知识的理解程度，便于下一节的教学设计.
方式二（布置作业）：
1.今日积累（总结回顾课堂内容）
2.教科书第18页练习第 3, 4题写到作业本上.
3*.思考教科书第23页拓广探索的第9题
设计意图:一方面引导学生反思本节课的重点，另一方面教给学生如何总结，提升学生的数学“学习力”.
方式三（每日一题）：
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,若以{}为基底,则向量的坐标为　　　　　,向量的坐标为　　　　　,向量的坐标为　　　　　.
　(1,1,1)
解析:因为,所以向量的坐标为.
因为,
所以向量的坐标为.
因为,所以向量的坐标为(1,1,1).
设计意图:考查学生对空间向量的坐标求法的掌握及其灵活运用和数学计算.

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