资源简介

8.1.2 样本相关系数
一、教学目标
1、正确理解两个变量的样本相关系数．
2、掌握样本相关系数公式及其计算，学会简单的应用.
二、教学重点、难点
重点：正确理解两个变量的样本相关系数.
难点：样本相关系数公式的准确计算、理解与应用.
三、学法与教学用具
1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.
2、教学用具：多媒体设备等
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【回顾】
散点图(scatter plot)-- 用图形展示成对样本数据的变化特征
用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，则成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图(scatter plot).
正相关与负相关
正相关 负相关
当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近， 我们就称这两个变量线性相关(linear correlation).
【问题】通过散点图中成对样本数据的规律分布，可以判断两个变量的相关关系以及正相关、负相关，但是量化程度无法体现，如何才能对样本数据的相关程度进行定量分析？
【研读与思考】研读课本，与同桌或小组交流.（用时约3-5分钟）
（二）阅读精要，研讨新知
【解读】
样本相关系数(sample correlation coefficient)
称为变量和变量的样本相关系数 (sample correlation coefficient)
当时，称成对样本数据正相关 当时，称成对样本数据负相关
当越接近1时， 成对样本数据的线性相关程度越强 当越接近0时， 成对样本数据的线性相关程度越弱
【样本相关系数的计算】
因为
所以
【例题研讨】阅读领悟课本例1、例2、例3（用时约为3-4分钟，教师作出准确的评析.）
例1根据表8.1-1 中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，
并推断它们的相关程度.
解：先画出散点图，如图8.1-1所示.观察散点图，可以看出样本点都集中在一条直线附近，
由此推断脂肪含量和年龄线性相关.
根据样本相关系数的定义，
利用计算工具计算可得
，，
，
代人①式，得
由样本相关系数,可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
例2 有人收集了某城市居民年收人(所有居民在一年内收人的总和)与A商品销售 额的10年数据，
如表8. 1-2所示.
画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入
与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同.
解：画出成对样本数据的散点图，如图8.1-6所示.从散点图看，
A商品销售额与居民年收人的样本数据呈现出线性相关关系.
由样本数据计算得样本相关系数.由此可以推断，A商品销售额与居民年收人正线性相关，
即A商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强.
例3在某校高一年级中随机抽取25 名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，如表8.1-3所示.
体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性
解：根据样本数据画出体重与身高、臂展与身高的散点图，分别如图8.1-7(1)和(2)所示，
两个散点图都呈现出线性相关的特征.
通过计算得到体重与身高、臂展与身高的样本相关系数分别约为0.34和0.78,
都为正线性相关. 其中，臂展与身高的相关程度更高.
【小组互动】完成课本练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.
【练习答案】
（三）探索与发现、思考与感悟
1.关于两个变量与其线性相关系数，有下列说法：
①若，则增大时，也相应增大；
②若越趋近于1，则与的线性相关程度越强；
③若或，则与的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．
其中正确的有(　　)
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
解：根据样本相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用样本相关系数进行判断：当为正数时，表示变量正相关；当为负数时，表示两个变量负相关；越接近于1，相关程度越强；越接近于0，相关程度越弱．故可知①②③正确．故选D
2. 某火锅店为了了解营业额与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天营业额与当天气温的对比表：
气温/℃ 26 18 13 10 4 1
营业额/百元 20 24 34 38 50 64
画出散点图并判断营业额与气温之间是否具有线性相关关系．
解：画出散点图如图所示．
，
，
所以
由于的值较大，所以与具有很强的线性相关关系．
3. 为分析学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取10名学生，
了解他们的入学成绩和高一期末考试数学成绩如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
入学成绩 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76
高一期末成绩 65 78 52 82 92 89 73 98 56 75
（1）画出散点图；
（2）对变量与进行相关性检验，如果与之间具有线性相关关系，求样本相关系数并作出分析．
解：（1）散点图如图所示．
（2）由题意可求得，
因此样本相关系数为
所以入学数学成绩与高一期末考试数学成绩存在较强的线性相关关系．
4. 下图是我国2016年至2022年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2016～2022.
由折线图看出，与有线性相关关系，请用相关系数加以说明．
附注：参考数据：，
参考公式：相关系数.
解：由折线图中数据和附注中参考数据得，
，
，
所以
因为与的相关系数近似为0.99，所以与的线性相关程度相当高．
（四）归纳小结，回顾重点
样本相关系数(sample correlation coefficient)
称为变量和变量的样本相关系数 (sample correlation coefficient)
当时，称成对样本数据正相关 当时，称成对样本数据负相关
当越接近1时， 成对样本数据的线性相关程度越强 当越接近0时， 成对样本数据的线性相关程度越弱
（五）作业布置，精炼双基
1. 完成课本习题8.1 2、3、4
2. 预习8.2 一元线性回归模型及其应用
五、教学反思：（课后补充，教学相长）

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