资源简介

课程基本信息
学科 数学 年级 高二 学期 春季
课题 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）
教科书 书 名：选择性必修第三册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年3月
教学目标
1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件. 2.了解非线性回归模型. 3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.
教学内容
教学重点：一元线性回归模型的含义。最小二乘估计的原理与方法。残差分析。 教学难点：一元线性回归模型参数最小二乘估计的推导，解释预测值的含义。理解刻画模型拟合效果的指标。
教学过程
（一）教材分析 1. 教材来源 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第八章《成对数据的统计相关性》 2. 地位与作用 建立一元线性回归模型过程中，方程的建立、参数的估计、模型有效性分析等都是培养学生数据分析、数学建模、逻辑推理、数学抽象的重要素材，也是加强学生“四基”，提高“四能”的重要内容。 （二）学情分析 1.认知基础：通过散点图判断成对数据的相关性已经很熟练。 2.认知障碍：线性回归模型中随机误差的假设、最小二乘原理和方法等存在理解困难。 （三）教学目标 1. 知识目标：.通过用教学方法刻画散点与直线接近的程度，体会一元线性回归模型参数的最小二乘估计原理 能力目标：通过对残差和残差图分析，用残差判断一元线性回归模型的有效性，发展数据分析能力 素养目标：培养学生数学运算与数据分析素养
新知探究
在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要运用散点图选择适当的函数模型来拟合观测数据，然后通过适当的变量代换，把非线性问题转化为线性问题，从而确定未知参数，建立相应的线性回归方程．
问题　具有相关关系的两个变量的线性回归方程为＝x＋.预测值与真实值y一样吗？预测值与真实值y之间误差大了好还是小了好？
提示　不一定；越小越好．
1．残差的概念
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．
2．刻画回归效果的方式
(1)残差图法
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．
(2)残差平方和法
残差平方和 (yi－i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．
(3)利用R2刻画回归效果
决定系数R2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力．
R2＝1－，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差．
拓展深化
[微判断]
1．残差平方和越接近0, 线性回归模型的拟合效果越好．(√)
2．在画两个变量的散点图时， 响应变量在x轴上，解释变量在y轴上．(×)
提示　在画两个变量的散点图时， 响应变量在y轴上，解释变量在x轴上．
3．R2越小， 线性回归模型的拟合效果越好．(×)
提示　R2越大， 线性回归模型的拟合效果越好．
[微训练]
1．在残差分析中， 残差图的纵坐标为__________．
答案　残差
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：
甲 乙 丙 丁
R2 0.98 0.78 0.50 0.85
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？
解　R2越大，表示回归模型的拟合效果越好，故甲同学建立的回归模型拟合效果最好．
[微思考]
在使用经验回归方程进行预测时，需要注意哪些问题？
提示　(1)经验回归方程只适用于所研究的样本的总体；(2)所建立的经验回归方程一般都有时效性；(3)解释变量的取值不能离样本数据的范围太远．一般解释变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预报效果好，超出这个范围越远，预报的效果越差；(4)不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值.
题型一　线性回归分析
【例1】　已知某种商品的价格x(单位：元/件)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
解　＝(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
x＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
xi yi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以＝＝＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求回归直线方程是＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
yi－i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
所以 (yi－i)2＝0.3，
(yi－)2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
所以回归模型的拟合效果较好．
规律方法　(1)解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．
(2)刻画回归效果的三种方法
①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．
②残差平方和法：残差平方和 (yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．
③决定系数法：R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好．
【训练1】　某地区2011年到2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
解 （1）由所给数据计算得
＝× (1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2 ＝9+4+1+0+1+4+9=28,
(ti－) (yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝
=＝0.5，
＝－ ＝4.3－0.5×4＝2.3，
所以所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知＝0.5>0，故2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2020年的年份代号t＝10代入(1)中的回归方程，得＝0.5×10＋2.3＝7.3.故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为7.3千元．
题型二　残差分析与相关指数的应用
【例2】　假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4
y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2
(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；
(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；
(3)计算各组残差，并计算残差平方和；
(4)求R2，并说明(2)中求出的回归模型的拟合程度．
解　(1)散点图如下．
(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．
设回归方程为＝x＋，又＝30.36，＝43.5，
x＝5 101.56，
＝1 320.66，2＝921.729 6，
xiyi＝6 746.76.
则＝≈0.29，＝－ ≈34.70.
故所求的回归直线方程为＝0.29x＋34.70.
当x＝56.7时，＝0.29×56.7＋34.70＝51.143.
故估计成熟期有效穗为51.143.
(3)由i＝xi＋，可以算得i＝yi－i分别为1＝0.35，2＝0.718，3＝－0.5，4＝－2.214，5＝1.624，残差平方和： ≈8.43.
(4) (yi－)2＝50.18，故R2≈1－≈0.832.所以(2)中求出的回归模型的效果较好.
规律方法　(1)利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差1，2，…，n来判断模型拟合的效果．
(2)若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高．
【训练2】　为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表：
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求回归直线方程；
(2)求出R2并说明回归模型拟合的程度；
(3)进行残差分析．
解　(1)散点图如图所示．
样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系．
由表中数据，得＝×(5＋10＋15＋20＋25＋30)
＝17.5，
＝×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，
x＝ 2 275，xiyi＝1 076.2.
计算得≈0.183，≈6.285.
故所求回归直线方程为＝6.285＋0.183x.
(2)列表如下：
yi－i 0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025
yi－ －2.237 －1.367 －0.537 0.413 1.413 2.313
可得 (yi－i)2≈0.013 18, (yi－)2≈14.678 3.
所以R2＝1－≈0.999 1，回归模型的拟合效果较好．
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正错误，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系．
题型三　非线性回归分析
【例3】　某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2 (wi－)2 (xi－)·(yi－) (wi－)·(yi－)
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8
表中wi＝，＝wi.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.
根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为
＝，＝－.
解　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
由于＝＝＝68，
＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6(t)，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32(千元)．
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，
即x＝46.24时，取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
规律方法　求非线性回归方程的步骤
(1)确定变量，作出散点图．
(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．
(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．
(4)分析拟合效果：通过计算决定系数或画残差图来判断拟合效果．
(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．
【训练3】　下表为收集到的一组数据：
x 21 23 25 27 29 32 35
y 7 11 21 24 66 115 325
(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；
(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；
(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．
解　(1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1，c2为待定的参数．
(2)对y＝c1ec2x两边取对数，得ln y＝ln c1＋c2x，令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为
x 21 23 25 27 29 32 35
z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
求得回归直线方程为＝0.272x－3.849，
∴＝e0.272x－3.849.
残差
yi 7 11 21 24 66 115 325
i 6.443 11.101 19.125 32.950 56.770 128.381 290.325
i 0.557 －0.101 1.875 －8.950 9.23 －13.381 34.675
(3)当x＝40时，＝e0.272×40－3.849≈1 131.
一、素养落地
1．通过本节课的学习，进一步提升数学运算及数据分析素养．
2．当根据给定的样本数据得到的散点图并不是分布在一条直线附近时，就不能直接求其回归直线方程了，这时可根据得到的散点图，选择一种拟合得最好的函数，常见的函数有幂函数、指数函数、对数函数等，然后进行变量置换，将问题转化为线性回归分析问题．
二、素养训练
1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是(　　)
A．角度和它的余弦值
B．正方形的边长和面积
C．正n边形的边数和内角度数和
D．人的年龄和身高
解析　函数关系就是变量之间的一种确定性关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高，故选D.
答案　D
2．(多选题)关于残差图的描述正确的是(　　)
A．残差图的横坐标可以是样本编号
B．残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量
C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小
D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小
解析　残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，R2的值越大，故描述错误的是C.
答案　ABD
3．在研究硝酸钠的溶解度时，观察它在不同温度(x)的水中溶解度(y)的结果如下表：
温度x 0 10 20 50 70
溶解度y 66.7 76.0 85.0 112.3 128.0
由此得到回归直线的斜率是__________．
解析　＝(0＋10＋20＋50＋70)＝30，
＝(66.7＋76.0＋85.0＋112.3＋128.0)＝93.6，
由公式＝可得≈0.880 9.
答案　0.880 9

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