资源简介

10.1.3 古典概型
一、内容与内容解析
（一）内容
本单元的核心内容包括:古典概型的概念及特征、古典概型的概率计算公式。
（二）内容解析
1、内容的本质
古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的，它的出现是为了更简单的运算，为计算概率制作一个在无规则概率问题中提出一个有规则的模型。
2、知识的上下位关系
古典概型是安排在学生学习了有限样本空间与随机事件、事件的关系和运算之后的一个最基础的概率模型，前两节的学习为学生列样本空间、计算和事件打下了一定的基础，也为下一节学生研究概率的基本性质提供了一个具体的案例支撑，建立事件的独立性、条件概率等重要概念，也都是以古典概型为背景的。
3、内容蕴含的数学思想和方法
研究古典概型，在描述并表示样本空间的过程中，体会将随机现象数学化的思想方法，发展数学抽象素养，通过计算古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和理解，通过解决一些简单实际问题，提升数学建模、逻辑推理、数据分析和数学运算素养。
4、内容的育人价值
概率课程承担的主要育人任务是培养学生分析随机现象以及对随机试验进行数学建模的能力。通过对古典概率试验的分析，在构建研究随机现象的路径、抽象概率的研究对象、建立古典概型的基本概念、发现和提出古典概型的概率计算公式、探索和形成研究具体随机现象的思路和步骤、应用概率知识解决实际问题的过程中,使学生学会辩证地思考问题，提升学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理以及数学运算素养。
（三）教学重点
1、理解古典概型的概念及特征，会判断随机试验是否是古典概型；
2、总结归纳古典概型中简单随机事件的求法。
二、目标与目标解析
（一）目标
1.理解古典概型的概念及特点.
2.利用古典概型概率公式解决简单的概率计算问题.
（二）目标解析
达成上述目标的标志是：
1、会利用古典概型的两个特征判断是否是古典概型．
2、能用适当的表达形式和分类方法通过列举获得古典概型的样本空间；能对样本点的等可能性进行判断；能用古典概型的概率计算公式计算概率。
三、教学问题诊断分析
（一）问题诊断
1、认知基础
概率的研究对象是随机现象，这对学生来说比较陌生，但概率的结论是确定的，研究确定性现象的一般方法同样适用于概率的研究。 另外，等可能条件下求随机事件的概率、频率估计概率等知识，学生在初中已有初步认识。为学生表述样本空间、样本点、满足对应事件的样本点提供了必要的认知基础。
2、认知困难
从学生的认知基础看，尽管他们对用图表、树状图等方法研究简单随机事件的可能结果有了一定的认识，但初中所学的概率内容非常有限，只能通过背景简单的情境定性解决随机事件，通过直观的手段，用列举法解决简单的概率求解问题，而现在所学知识对抽象思维的要求很高，因为没有这方面的经验，所以大多数学生会不知道从哪些角度入手，而建立样本点、样本空间概念的过程，就是将随机试验的结果转化为数学符号语言表达的过程，需要较强的数学语言表达能力。在学生以往的学习经历中，这方面的经验积累不多，他们还缺乏为一个随机试验构建样本空间的必备技能，完成这项任务学生今后求概率将会游刃有余，所以这是本单元学习中学生会遇到的难点。
3、应对策略
提高认知站位，在教学中，要通过较多例子的分析，帮助学生在充分感受的基础上归纳出这些特点，促使学生逐步加深对概率的研究对象的认识。要通过典型，丰富的古典概型实例，通过必要的示范讲解，引导学生思考如何确定一个随机试验的观察点，如何区分各种可能的结果，怎样表示等等，并通过适当的直观手段(如画树状图、列二维表)，帮助学生掌握获得随机试验样本空间的方法。
（二）教学难点
1、明确试验中的研究对象，能利用图表等形式列出试验的样本空间；2、能计算较复杂的古典概型概率。
四、教学支持条件分析
（一）运用课前预习与任务分配，引导学生合作完成课前任务，为课堂教学做好充分准备，提高课堂教学效率。
（二）借助AIclass及投影展台，展示小组探究成果，便于师生课堂互动与教学评价。
五、课时教学设计
第1课时 古典概型
（一）.课时教学内容
古典概型
（二）.课时教学目标
1、通过试验理解基本事件的概念和特点；通过具体实例分析，抽离出古典概型的两个基本特征，并推导出古典概型下的概率计算公式；
会求一些简单的古典概率问题。
2、经历探究古典概型的过程，体验由特殊到一般的数学思想方法。
3、用具有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
（三）.教学重点与难点
1、重点：古典概型的概念及特点，古典概型的概率计算公式。
2、难点：明确随机试验中的研究对象，能正确的列出样本空间中的样本点。
（四）.教学过程设计
1、问题导入，激发兴趣
在“十五二十”猜拳游戏中，假设双方出拳时都等可能的在“0”“5”“10”中任选一种，各说一个数字，若恰好是两人拳数之和，则获胜。除了心理因素外，其实还可以建立合适的数学模型，通过计算，制定数学上的制胜策略，你知道是什么吗？让我们带着这个问题进入今天的学习。
【设计意图】以猜拳游戏作为本节课的导入，激发学生学习兴趣，渗透数学建模思想，让学生感受生活处处是数学。
2、探究推导，学习新知
任务一、古典概型概念
问题1：
①在区间（0,10]上任取一个整数，可列出多少个样本点？
②在区间（0,10]上任取一个实数，可列出多少个样本点？
③丢一枚质量均匀的骰子，每个点数被丢出的概率是多少？
④中国女子射击运动员杨倩获得了东京奥运会上的首枚金牌，开启了我国在东京奥运会上的夺金之旅，如右图所示，气步枪的靶纸共设计有十环，射中1环与10环的概率是否相同？
追问：以上四个试验有什么异同？
分析：在区间（0,10]上任取一个整数和任取一个实数的样本点一个是有限的，一个是无限的；投骰子时，一共6个结果，每个点数被丢出的概率为1/6，是相同的，但射击中射中1环与10环的概率是不同的。
【设计意图】对比两类情景的概率计算方式，引导学生发现这是两类不同的情景，通过比较，感知古典概型的特点，并总结古典概型的概念．
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
问题2：同时掷两枚相同的硬币，这个试验是古典概型吗？
追问1：试着列出此试验的样本空间，有几个样本点？
追问2：你列出的样本空间是否满足我们所学古典概型的两个特征？　
小结：计算古典概型时，需要对物品进行编号，方能保证等可能性．
【设计意图】以投硬币试验作为切入点，通过追问，在学生动脑思考、数据分析的过程中，验证怎样选择样本点才能做到等可能，进一步加深了学生对古典概型的理解．
任务二、古典概型概率的计算
问题3：考虑下面两个随机试验，求事件A和B发生的概率．
（1）一个班级中有18名男生，22名女生，采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”；
分析：（1）共40个样本点，它们是等可能的，抽到男生占18个样本点，故事件A发生的概率为；
【设计意图】简单运用古典概型概率计算公式，再次体会对物品进行编号以保证样本点的等可能性．
（2）：抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”．
对学生的列举过程进行点评，提醒学生列举时是否建立了良好的分类标准，能否用树状图和有序数对的形式表达样本点．
【设计意图】练习用列举法得到样本空间，引起学生对分类标准的关注，并练习通过树状图和有序数对等形式对样本点进行清晰的表达．
概括得到古典概型的计算公式：
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率，其中和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.
问题4.（课本P237改编)（1）单项选择题是标准化考试中常用题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
分析：共四个样本点，每个样本点可能性相同，所以答对的概率为1/4.
【设计意图】练习用列举法得到样本空间，判断是否为古典概型。
（2）在今年的山西省高考中，数学加入了多项选择题，每道题分值5分，至少有两个正确选项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。若正确答案为ACD，记事件A=“得5分”，B=“得2分”，求事件A和B发生的概率。
学生活动：小组合作探究。
分析： 该考生答题情况样本空间Ω={A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD，ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD}共15个样本点，且每个样本点的可能性都相等，其中A={ACD}，所以P（A）=1/15,；B={A,C,D,AC,AD,CD}，所以P（B）=6/15=2/5.
【设计意图】结合考试中的实例，总结古典概型求概率的一般思路，也让学生体会数学与生活的密切联系，并让学生了解在答题过程中得分的概率。
问题5.（课本P237)抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为①号和②号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
（2）求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”；
B=“两个点数相等”；
C=“①号骰子的点数大于②号骰子的点数”。
分析： 可用二维表列样本空间
② ① 1 2 3 4 5 6
1 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） （1,5） （1,6）
2 （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） （2,5） （2,6）
3 （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） （3,5） （3,6）
4 （4,1） （4,2） （4,3） （4,4） （4,5） （4,6）
5 （5,1） （5,2） （5,3） （5,4） （5,5） （5,6）
6 （6,1） （6,2） （6,3） （6,4） （6,5） （6,6）
(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，①号骰子的每一个结果都可与②号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示①号骰子出现的点数是m，数字n表示②号骰子出现的点数是n，则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点，因此该试验的样本空间
Ω={(m,n)|m,n ∈{1, 2, 3, 4,5,6}}
其中共有36个样本点.
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
（2）因为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}，所以P(A)=4/36=1/9；
因为B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}，P(B)=6/36=1/6；因为C={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2)，(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)}，所以P(A)=15/36=5/12.
【设计意图】结合最常见的扔骰子试验，让学生学会选取合适的方法列出样本空间。强调在表示样本空间时可用二维表来列举，也可用集合中的描述法来表示，巩固练习求解古典概型时的一般思路。
回顾导入问题：甲乙两人在进行“十五二十”游戏，假设双方出拳时都等可能的在“0”“5”“10”中任选一种。
（1）请写出样本空间中所有的样本点并判断该试验是否为古典概型；
（2）请问游戏时喊出哪一个数字获胜概率最高？
分析：甲乙两人各三种等可能的出拳方式，样本空间共9个样本点，其中喊数字10的概率最大为1/3.
【设计意图】回顾导入，用本节课所学的知识解决导入问题，学以致用，首尾呼应。
3、归纳梳理，总结提升
课堂小结：（1）古典概型的两个特征：有限性和等可能性；
（2）求解古典概型问题的一般性思路：
①明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号表示实验的可能结果；
②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
③计算样本点个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
（3）本节课所蕴含的数学思想：建模与转化与化归。
【设计意图】学生总结反思，进一步强调本节课内容的重点难点和方法，培养学生提炼、总结、概括的能力．
4、课后实践，自主探究
课后调查：买彩票结果无非中与不中，那中奖的概率是不是？怎样选择样本点才是等可能的？请调查常见彩票的中奖规则，并尝试算一算中奖率是多少？
【设计意图】有意识地将数学与生活结合，借助常见的彩票中奖率的问题，激发学生探究的热情，做到学以致用，巩固基本知识的同时又提升了学生分析问题和解决问题的能力．
（五）.目标检测设计
1.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(　　)
A. B. C. D.
2.学校举行升国旗仪式，你与其他两位同学站成一排，你站在中间的概率是(　　)
A. B. C. D.
【设计意图】考查学生对古典概型的理解和掌握．
（六）.板书设计
第2课时 应用巩固
（一）.课时教学内容
较复杂的古典概型概率计算
（二）.课时教学目标
1、不放回摸球试验古典概型的概率计算；
2、对有放回简单随机抽样、无放回简单随机抽样和比例分层随机抽样的比较。
（三）.教学重点与难点
1、重点：有放回与无放回简单随机抽样的概率计算。
2、难点：明确随机试验中的研究对象，能正确的列出不同抽样方法样本空间中的样本点。
（四）.教学过程设计
1、复习旧知，温故知新
（1）古典概型的概念及特征
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
（2）古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率，其中和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数.
（3）解决古典概型问题的一般步骤
①编号列样本点；
②判断等可能性；
③计算概率。
2、合作探究，题型探讨
任务一、不放回简单随机抽样求概率
问题1：（课本P238)袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中①有放回的②不放回地依次随机摸出2个球，求两种抽样方式下下列事件的概率：
（1）A=“第一次摸到红球”；
（2）B=“第二次摸到红球”；
（3）AB=“两次都摸到红球”.
分析：①中样本空间共25个样本点②中样本空间中共20个样本点，引导学生用二维表去表示样本空间。
①将两个红色小球编号为1,2，三个黄色小球编号为3,4,5，在有放回的抽样中，每次摸球时有五种等可能的结果，将两次摸球的结果配对，有如下25种结果：
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） （1,5）
2 （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） （2,5）
3 （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） （3,5）
4 （4,1） （4,2） （4,3） （4,4） （4,5）
5 （5,1） （5,2） （5,3） （5,4） （5,5）
其中P（A）==，P（B）==，P（AB）=。
②在不放回的依次抽取中，共20个样本点，即除去①中摸到的两个相同小球的样本点，如下表：
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 × （1,2） （1,3） （1,4） （1,5）
2 （2,1） × （2,3） （2,4） （2,5）
3 （3,1） （3,2） × （3,4） （3,5）
4 （4,1） （4,2） （4,3） × （4,5）
5 （5,1） （5,2） （5,3） （5,4） ×
其中P（A）==，P（B）==，P（AB）==。
【设计意图】通过对两种抽样方式的分析，对比它们的共同点和不同点，突出对样本等可能性的判断。
追问：如果同时摸出两个球，那么事件AB的概率是多少？
分析：如果同时摸出两个球，即不分先后，则样本空间Ω={（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）}，共10个样本点，其中P（AB）=。
【设计意图】同时摸出两个球与不放回的依次摸取两个球在概率计算上是等效的。
任务二、研究不同抽样方法对实际例子的影响
问题2：从两名男生（B1，B2），两名女生（G1，G2）中任意抽取两人，估算四人的平均身高．
（1）分别写出①依次有放回的简单随机抽样，②不放回的简单随机抽样，和③“先抽一男生，再抽一女生”三种抽样方法的样本空间；
（2）分别求三种抽样下，抽到两人都是男生的概率．
分析：依次有放回简单随机抽样的样本空间为，，，，，，，，，，，，，，，,共16个样本点，抽到两人都是男生的概率为.依次无放回简单随机抽样的样本空间为，，，，，，，，，，，,共12个样本点，抽到两人都是男生有两个样本点，概率为.
按比例“先抽一男生，再抽一女生”的样本空间为，，，,共4个样本点，抽到两人都是男生的概率为0.
追问：如果男女生身高存在较大差异，应该选择那种抽样方式更加科学？
分析：应该避免出现样本中两个均为男生或者两个均为女生这样的极端样本，比例抽样最佳，其次是无放回的抽样．
【设计意图】通过一个极端特殊的例子，对有放回简单随随机抽样、无放回简单随机抽样和比例分层随机抽样，计算极端样本发生的概率，通过比较这个概率的大小，说明用样本估计总体时，按比例分层随机抽样效果最好，而无放回抽样比有放回抽样效果好。
3、归纳梳理，总结提升
课堂小结：复习求解古典概型的一般思路，通过比较选用合适的抽样方法研究实际问题。
【设计意图】学生总结反思，进一步强调本节课内容的重点和难点和方法，培养学生提炼、总结、概括的能力．
（五）.目标检测设计
A层：基础达标
1、从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为________.
2、从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是________.
B层：能力提升
3、某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.
(1)求应从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；
(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率.
4、某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9
(1)从该小组身高低于1.80米的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78米以下的概率；
(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70米以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.
【设计意图】考查学生对放回与不放回随机抽样的判断，结合分层随机随机抽样与古典概型对实际问题进行分析。
（六）.板书设计
（七）.教学设计说明
古典概型是一类与生活紧密联系，广泛运用的数学模型，可以充分的通过生活实例让学生体验、感知其中的数学原理。通过区间内取整数与取实数、投骰子与射靶的对比，提炼古典概型的两个特征，通过掷硬币试验，理解样本点的选择方式和等可能性，使学生在学习过程中，获得数学探究活动的基本体验，并运用获得的数学知识，思考，表达藏在猜拳游戏中的数学原理。
导入采用了生活中常见的“十五二十”猜拳游戏，其背后的数学原理与教材例8一致，以贴近生活的方式将其展开。在课堂的初始阶段，通过生活中常见现象背后的数学原理引发学生关注，展开思考和探究，引导学生生成建模数学思想。
对于样本点等可能性的认识是古典概型问题的分析重点。抛掷两枚硬币这个案例，在教材也出现过，但这里强调了“两个相同硬币”这个干扰项，以及对样本点是否等可能的探究，进一步说明编号才能保证样本点的等可能性。
由于本课在计数原理之前，学生目前只能通过例举出所有的样本点的方式计算概率，如何做到不重不漏，清晰明了就是问题的关键。通过在黑板上展示学生用列举法获得样本空间的过程，引导学生思考列举时怎样创建合理的分类标准，怎样选用适当的符号、形式、图表来清晰简洁的表示实验结果。

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