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第一章 整式的乘除
整理与复习
一、教学目标
1.梳理全章内容，建立知识体系；
2.掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；
3.能正确利用平方差公式和完全平方公式进行运算；
4.能用科学计数法解决问题.
二、教学重点和难点
重点：1. 通过对比加深对有关知识的认识；同底数幂的乘、除法的区别；同底数幂的乘法和幂的乘方的区别；单项式和单项式相乘、单项式与多项式相乘及多项式与多项式相乘的区别.
难点：幂的运算法则及平方差公式和完全平方公式的灵活运用.
三、教学用具
多媒体、课件
四、相关资源
图形、图片
五、教学过程
（一）情境导入
设计意图：通过回顾知识框架图，明确本节课的复习内容，引导学生回顾本章的知识点，系统地了解各知识点之间的关系.教学时边回顾边建立结构框图.
（二）重难点突破
知识点一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.
6.负指数幂：（≠0，是正整数）.
说明：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；当两个同指数幂相乘，且底数之积较特殊时，就应考虑到逆向运用积的乘方的性质．逆用公式解题是逆向思维训练的具体体现．重视逆向思维的训练，不仅可以深化对基础知识的理解，而且可以拓宽解题渠道，提高灵活应变能力．
知识点二、整式的乘法和除法
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即m(a+b+c)=ma+mb+mc(m、a、b、c都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
即(a+b)（m+n）=am+an+bm+bn.
说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.
4.单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
5.多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
即：
知识点三、乘法公式
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：；
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.注意公式的灵活运用，根据题目特点变形后运用公式或逆用公式，有时可能有妙解.
设计意图：将本章知识点进行汇总归纳，明确知识点和公式的运用，做到条理清晰，为正确解题作好铺垫.
知识点三、科学计数法
像这样，把一个大于10的数可以表示成 a×10n的形式，其中n是正整数，a是整数数位只有一位的数,即1≤|a|＜10.
设计意图：正确理解科学技术法并能灵活应用.
（三）专项练习
1.幂的运算：
命题角度：同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方及积的乘方的综合运用；
零指数幂和负指数幂的运算.
（1）下列运算正确的是：（ ）C
A.x3·x2=x6 B.x3-x2=x C.（-x）2·（-x）=-x3 D.x6÷x2=x3
分析：A、C选项是同底数幂的乘法运算，底数不变，指数相加，注意C选项中的底数带有负号；D选项是同底数幂的除法运算，底数不变，指数相减；B选项不能进行运算；所以正确答案是C.
（2）下列运算正确的是( ) B
(A)a2·a3=a6 (B)a3÷a2=a (C)(a3)2=a9 (D)a2+a3=a5
（3）下列运算不正确的是（ ）D
A. B. C. D.
（4）计算-(-3a2b3)4的结果是( ) D
(A)81a8b12 (B)12a6b7 (C)-12a6b7 (D)-81a8b12
（5）计算:a·a2+a3=_____.2a3
分析：把同底数幂的运算和合并同类项相结合，要正确运用法则进行计算.
（6）已知xa=3,xb=5,则x3a-2b=___ .
分析：同底数数幂和幂的乘法的逆运算，要学会灵活运用法则.
（7）“若（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n”．你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！
①如果，求x的值；
②已知，求的值；
③如果，求x的值.
解：①∵，∴，∴，∴，∴
②∵，∴，∴，∴，
∴
③∵，∴，∴
（8）已知：2x=4y+1，27y=3x-1，求x-y的值.
解：∵2x=4y+1 ∴2x=2(2y+2) ∴x=2y+2①
又∵27y=3x-1∴33y=3x-1∴3y=x-1②
解方程组为：
∴x-y=3.
设计意图：熟练掌握幂的运算法则，并能进行灵活运用，在计算过程中注意指数的运算，对公式的逆用要在理解的基础上熟练运用.
2.整式的乘法和除法
命题角度：单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算；
单项式除以单项式、多项式除以单项式.
（1）下列运算正确的是（ ）B
A.x3+x3=x6 B.2x·3x2=6x3 C.（2x）3=6x3 D.（2x2+x）÷x=2x
解析：A.应为x3+x3=2x3，故本选项错误；
B.2x·3x2=6x3，正确；
C.应为（2x）3=23x3=8x3，故本选项错误；
D.应为（2x2+x）÷x=2x+1，故本选项错误.故选B.
（2）下列计算中，正确的是（ ）B
A、2a3·3a2=6a6 B、4x3·2x5=8x8
C、2x·2x5=4x5 D、5x3·4x4=9x7
（3）下列运算正确的是（ ）D
A. x2·x3=x6 B. x2+x2=2x4 C.(-2x)2=-4x2 D.(-2x2)(-3x3)=6x5
（4）已知：a+b=m，ab=-4，化简：（a-2）（b-2）的结果是（ ）D
A.6 B.2m-8 C.2m D.-2m
解析：∵a+b=m，ab=-4，
∴（a-2）（b-2）=ab+4-2（a+b）=-4+4-2m=-2m，故选D.
（5）已知（x+a）（x+b）=x2-13x+36，则a+b的值是（ ）B
A.13 B.-13 C.36 D.-36
解析：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，
又∵（x+a）（x+b）=x2-13x+36，
所以a+b=-13.故选B.
(6) ① (-5a2b)(-3a) ②(2x)3(-5xy2) ③ -2x2 · (x-5y)
④(-12xy2-10x2y+21y3)(-6xy3)
解： ① (-5a2b)(-3a)= [(-5)×(-3)](a2 a)b= 15a3b
② (2x)3(-5xy2) =8x3(-5xy2) =[8×(-5)](x3 x)y2 =-40x4y2
③ -2x2 · (x-5y)=-2x3+10x2y
④(-12xy2-10x2y+21y3)(-6xy3)=72x2y5+60x3y4-126xy6
（7）当x＝-7时，代数式 (2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)的值为_________．
解析： 化简原式，得x2＋9x+8，
当x=-7时，原式= (-7)2＋9(-7 )+8=-6.
（8）①(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2).
解：原式= a3-2a2+3a-6-a3+2a2+2a
= 5a-6.
②已知．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
原式=6a2+3a--（4a2-1）
=2a2+3a+1
∵，∴2a2+3a+1=6+1=7.
③已知A=（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B=﹣x2﹣xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值.
3A+6B=3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2﹣xy﹣1）
=3[2x2-2x+x-1-x+3xy]+ （﹣6x2﹣6xy﹣6）
=6x2-6x+3x-3-3x+9xy﹣6x2﹣6xy﹣6
=-6x+3 xy-9
∵3A+6B的值与x无关，∴y=2.
（9）①一个单项式与-3x3y3的积是12x5y4，则这个单项式为________.-4x2y
②—12a3 bc÷（ ）= 4a2 b；（4x2y — 8x 3）÷4x 2 =___________.-3ac；y-2x.
设计意图：熟练利用法则进行计算.
3.整式乘法公式
命题角度：平方差公式与完全平方公式
（1） ① (3a +2b)(3a 2b) ②(-2x-y)(-y+2x)
解： ① (3a +2b)(3a 2b) =9a2－4b2 ② (-2x-y)(-y+2x)=y2-4x2
（2）运用两数和（差）的平方公式计算：
①(4a-b) ②(y+0.5) ③(-2x-1)
解： ①原式=(4a) -2 4a b+b =16a -8ab+b
②原式=y +2 y 0.5+0.5 =y +y+0.25
③原式=(-2x) -2 (-2x) 1+1 =4x +4x+1
（3）①已知x+y=-5，xy=3，则x2+y2=（ ）C
A.25 B.-25 C.19 D.-19
②若 a2-6a+M 是一个完全平方式，则M等于( )D
A．-3 B．3 C．-9 D．9
③如果整式x 2 + mx +32 恰好是一个整式的平方，那么常数m的值是（ ）D
A.6 B.3 C.±3 D.±6
（4）计算：① ②
=4m2-20m+25 =a4-81
（5）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为____
解析：根据拼成的长方形的面积等于正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解.
设拼成的长方形的另一边长为x，则4x=(m+4)2-m2=(m+4+m)(m+4-m)，解得x=2m+4.
（6）如图1是一个长为2m、宽为2n的 长方形，沿虚线剪开，均分成4块小长方形，拼成如图2的长方形.
（1）阴影正方形的边长是多少？
（2）请用不同的两中方法计算阴影正方形的面积
（3）观察图2，你能写出（m+n）2，（m-n）2，mn三个代数式之间的关系？
（7）若x2－4x＋y2－10y＋29=0，求x2y2＋2x3y2＋x4y2的值.
解析：一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性求出x、y，再化简所求代数式后代入求值.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29=0，∴（x2－4x+4）＋（y2－10y＋25）=0，
∴（x-2）2+（y-5）2=0，∴x=2，y=5.
x2y2＋2x3y2＋x4y2=x2y2（1+2x+x2）=（xy）2（1+x）2=（2×5）2×（1+2）2=900.
设计意图：上以基础题目为主，在此基础上提供了少量综合性、灵活性较强的题目，这样就可以让每一个学生都能融入到课堂，都能感受到成功的快乐，找到学习的自信，实际教学时可以根据学生的特点将复习课的上课形式设计得更加灵活多样，除了传统的师生问答，还可以采用分组竞赛、必答抢答等方式，让学生在活泼又不失紧张的学习氛围中快乐的学习.
4.科学技术法
命题角度：科学技术法的应用
（1）芝麻作为食品和药物，均被广泛使用，经测算，一粒芝麻约有0.00000201千克，用科学记数法表示为（ ）
A.2.01×10-6千克
B.0.201×10-5千克
C.20.1×10-7千克
D.2.01×10-7千克
【解析】选A.0.00000201=2.01×0.000001=2.01×10-6故选A.
（2）用科学记数法表示下列各数：
1 000 000，57 000 000，123 000 000 000
解：1 000 000＝106
57 000 000＝5.7×107
123 000 000 000＝1.23×1011
设计意图：指导学生掌握正确的方法，提高解题的准确率.
六、课堂小结
1.幂的运算，公式的灵活运用；
2.整式的乘方及除法运算，正确运用法则解题；
3.平方差公式和完全平方公式的运用；
4.掌握科学技术法的方法.
设计意图:要求学生对本章知识能够系统回顾，做到条理清晰，对重点内容的把握要求到位，更便于各知识点的运用.
七、板书设计
第一章 整式的乘除
整理与复习
1.幂的运算
2.整式的乘方及除法
3.平方差公式和完全平方公式
4.科学技术法

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