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导数的恒能成立问题
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
4、问题：对任意，均存在，使得成立，可转化为求参数的取值范围。
题型一 利用导数处理恒成立问题
典例1．设函数．
(1)求的单调区间；
(2)若对任意的，都有成立，求实数a的取值范围．
练习1．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
2．已知函数（是正常数）.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若，，求的取值范围；
典例2．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明：时，当恒成立.
练习
1．已知函数
（1）求的极值点；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
2．已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)求函数的极值点．
题型二 利用导数处理能成立问题
典例3．已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．
(1)求函数；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．
练习
1．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
2．已知函数，设在点处的切线为
（1）求直线的方程；
（2）求证：除切点之外，函数的图像在直线的下方；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围
典例4．已知函数．
（1）若在点处的切线斜率为．
①求实数的值；
②求的单调区间和极值．
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．
练习
1．已知函数.
（1）当a=1时，求曲线在x=1处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若存在，使得，求a的取值范围.
2．已知，在上是单调递增函数.
(1)求a的最小值；
(2)当实数a取最小值时，若存在实数x使不等式成立，求实数k的取值范围.
题型三 利用导数处理恒、能成立结合问题
典例5．已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)若对任意的，均存在，使得，求a的取值范围．
练习
1．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
2．已知函数
(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值与函数的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
典例6．已知函数，为的导函数．
(1)求的定义域和导函数；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围．
练习1．已知函数，其中.
(1)求的单调区间；
(2)是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.
2．设为实数，函数，.
(1)若函数轴有三个不同交点，求的范围
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.
巩固练习
1．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围.
2．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
3．已知函数．
(1)若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
4．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求该切线的方程；
(2)若，恒成立，求的取值范围.
5．已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)在内存在x，使不等式成立，求实数a的取值范围；
6．已知函数f(x)＝ax－2lnx．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
7．已知函数
(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．
8．已知函数．
(1)证明：曲线在点处的切线l恒过定点；
(2)若存在使得，求k的取值范围．
9．已知，函数，.
（1）求在上的最小值；
（2）若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围.（已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增）
10．已知函数．（注：是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．
11．设函数，函数．
（1）求证：方程仅有一个实根；
（2）若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
12．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
导数的恒能成立问题
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
4、问题：对任意，均存在，使得成立，可转化为求参数的取值范围。
题型一 利用导数处理恒成立问题
典例1．设函数．
(1)求的单调区间；
(2)若对任意的，都有成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为(2)
【解析】【分析】
（1）对函数进行求导，根据导数与0的关系即可得单调区间；
（2）利用分离参数思想，求出的最小值即可得结果；
(1)函数的定义域为，
由，得；由，得．
∴的单调递减区间为，单调递增区间为
(2)由（1）可知在上单调递减，在上单调递增．
所以，∵对任意的，都有成立
即对任意的，都有成立，∴
∴实数a的取值范围为
练习1．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】【分析】
（1）求，分别讨论不同范围下的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合，分别求出的范围再求并集即可.
【详解】
解：（1）由已知定义域为，
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.所以时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；
当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满足对任意的恒成立.所以综上所述：.
2．已知函数（是正常数）.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若，，求的取值范围；
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，的极大值是，无极小值；（2）.
【解析】【分析】
（1）求出函数的导函数，解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间；
（2）依题意可得，设，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解；
【详解】
解：（1）当时，，定义域为，，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值是，无极小值.
（2）因为，，即恒成立，即.
设，可得，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即.
典例2．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明：时，当恒成立.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，；（2）证明见解析.
【解析】【分析】（1）利用导数研究的单调性即可.
（2）由分析法：只需证即可，构造，利用导数证明结论得证.
【详解】
（1）函数的定义域为，当时，，
∴，，
∴当或时，，在，单调递减，
当时，， 在单调递增.
故的单调递增区间为，单调递减区间为，.
（2）要证，只需证，
∵，，∴，
设，则，
∴在单调递增，，∴，得证.
练习
1．已知函数
（1）求的极值点；
（2）若对任意恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）是的极小值点，无极大值点；（2）.
【解析】【分析】
（1）利用导数研究函数的极值点.
（2）由题设知：在上恒成立，构造并应用导数研究单调性求最小值，即可求的范围．
【详解】
（1）由题设，，
∴时，，单调递减；时，，单调递增减；
∴是的极小值点，无极大值点.
（2）由题设，对恒成立，即在上恒成立，
令，则，
∴时，，递减；时，，递增；
∴，故.
2．已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)求函数的极值点．
【答案】(1)(2)答案见解析
【解析】【分析】
（1）由题意可得，令，将问题转化为，求出 在上的最小值即可；
（2）求导可得，分，，，讨论的正负，从而得到的单调性，进一步得到的极值点.
(1)
由可得：，即，
令，则问题转化为，因为，
所以当时， ，单调递减；当时，，单调递增．所以，所以，故的范围为：.
(2)
因为，所以，
当时，，当，，单调递减；
当时，，单调递增，此时的极值点为；
当时，令，得，，当时，，
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以此时的极值点为和；
当时，，此时，单调递增，无极值点；
当时，，当和时，，单调递增；
当时，，单调递减；所以此时的极值点为和；
综上所述：当时，极值点为；当时，无极值点；当或时，极值点为和.
题型二 利用导数处理能成立问题
典例3．已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．
(1)求函数；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1);(2).
【解析】【分析】
（1）求导后，根据和，解得即可得解；
（2）转化为，再利用导数求出函数在上的最小值，然后解不等式可得结果.
(1)
∵，由，得且，解得，，又，∴，经检验，时，满足题意,∴；
(2)存在，使得，等价于，
∵，当时，，当时，，
∴在上递减，在上递增，又，，∴在上的最小值为，∴，解得或，所以的取值范围是．
练习
1．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；(2).
【解析】【分析】
（1）当时，，得出的定义域并对进行求导，利用导数研究函数的单调性，即可得出的单调区间；
（2）将题意等价于在内有解，设，即在上，函数，对进行求导，令，得出，分类讨论与区间的关系，并利用导数研究函数的单调和最小值，结合，从而得出实数的取值范围.
(1)
解：当时，，可知的定义域为，
则，可知当时，；当时，；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)
解：由题可知，存在，使得成立，
等价于在内有解，
可设，即在上，函数，
，
令，即，解得：或（舍去），
当，即时，，在上单调递减，
，得，又，所以；当时，即时，，在上单调递增，
，得，不合题意；
当，即时，则在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
，即，不符合题意；
综上得，实数的取值范围为.
2．已知函数，设在点处的切线为
（1）求直线的方程；
（2）求证：除切点之外，函数的图像在直线的下方；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围
【答案】（1）y＝x﹣1；（2）见详解；（3）（﹣∞，1）.
【解析】【分析】
（1）求导得，由导数的几何意义k切＝f′（1），进而可得答案．
（2）设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，求导得h′（x），分析h（x）的单调性，最值，进而可得f（x）﹣（x﹣1）≤0，则除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．
（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，令g（x）＝，x＞1，只需a＜g（x）max．
【详解】
（1），由导数的几何意义k切＝f′（1）＝1，
所以直线m的方程为y＝x﹣1．
（2）证明：设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，
，函数定义域为（0，+∞），
令p（x）＝1﹣lnx﹣x2，x＞0，p′（x）＝﹣﹣2x＜0，
所以p（x）在（0，+∞）上单调递减， 又p（1）＝0，
所以在（0，1）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
在（1，+∞）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）max＝h（1）＝0，所以h（x）≤h（1）＝0，所以f（x）﹣（x﹣1）≤0，
若除切点（1，0）之外，f（x）﹣（x﹣1）＜0，
所以除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．
（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式f（x）＞a（x﹣1）成立，
则若存在x∈（1，+∞），使得不等式＞a成立，即若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，令g（x）＝，x＞1，g′（x）＝
＝ ，令s（x）＝x﹣1﹣（2x﹣1）lnx，x＞1
s′（x）＝1﹣2lnx﹣（2x﹣1） ，
令q（x）＝﹣x﹣2xlnx+1，x＞1，q′（x）＝﹣1﹣2lnx﹣2＝﹣3﹣2lnx＜0，
所以在（1，+∞）上，q（x）单调递减，又q（1）＝0，
所以在（1，+∞）上，q（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）单调递减，
所以s（x）≤s（1）＝0，即g′（x）≤0，g（x）单调递减，
又，所以a＜1，所以a的取值范围为（﹣∞，1）．
典例4．已知函数．
（1）若在点处的切线斜率为．
①求实数的值；
②求的单调区间和极值．
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）①；②减区间为，增区间为，极小值为，无极大值； （2）.
【解析】【分析】
（1）求得函数的导数，①根据题意得到，即可求得的值；
②由①知，结合导数的符号，以及极值的概念与计算，即可求解；
（2）设，根据存在，使得成立，得到成立，结合导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数的定义域为，且，
①因为在点处的切线斜率为，可得，解得.
②由①得，令，即，解得；
令，即，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值，
综上可得，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
（2）因为，由，即，
即，设
根据题意知存在，使得成立，即成立，
由，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以，即实数的取值范围是.
练习
1．已知函数.
（1）当a=1时，求曲线在x=1处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若存在，使得，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）时，在单增；，在单增，在单减；（3）.
【解析】【分析】
（1）求出函数导数，将切线横坐标代入得到斜率，再求出切点纵坐标，最后写出切线方程；
（2）求导后，通分，分两种情况讨论得到单调区间；
（3）当时，代特值验证即可，当时，函数最大值大于0，解出即可.
【详解】
由题意，
所以所以切线方程为：.
（2），若，则，在单增；若，则时，，单增；时，，单减.
（3）由（2），若，则，满足题意；若，，则，综上：.
2．已知，在上是单调递增函数.
(1)求a的最小值；
(2)当实数a取最小值时，若存在实数x使不等式成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)2；(2).
【解析】【分析】
(1)结合已知条件，利用在恒成立问题即可求解；(2)根据已知条件对不等式分离参数，然后构造新函数，利用导函数求最值的方法即可求解.
【详解】
(1)由题意可知，在恒成立，故在恒成立，即，解得，故的最小值为2；
(2)当时，存在实数x使不等式成立，
由可知，存在实数x使不等式成立，即成立，
不妨令，即，由，；；
故在上单调递增，在单调递减，
从而的最大值为，即，故实数k的取值范围为.
题型三 利用导数处理恒、能成立结合问题
典例5．已知函数．
(1)当时，求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)若对任意的，均存在，使得，求a的取值范围．
【答案】(1)最大值为，最小值为；(2).
【解析】【分析】
（1）利用导数研究的区间单调性，进而确定端点值和极值，比较它们的大小，即可得最值；
（2）将问题转化为、上，利用二次函数性质及导数求函数最值，即可得结果.
(1)
由题设，则，
所以在上，递增，在上，递减，
则，极大值，
综上，最大值为，最小值为.
(2)由在上，
根据题意，只需即可，由且，
当时，，此时递增且值域为R，所以满足题设；
当时，上，递增；上，递减；
所以，此时，可得，
综上，a的取值范围.
练习
1．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为；(2).
【解析】【分析】
（1）首先对函数求导，根据的取值情况判断的正负情况，进而得到的增减情况；
（2）对任意，存在，使得成立，等价于，然后对进行讨论，分别求函数的最值，进而得到结论.
(1)
因为，所以．
当时，与的变化情况如表所示：
0
单调递增 单调递减
所以当时，函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为．
(2)当时，，所以函数为偶函数．
所以当时，函数的单调递增区间为，，
函数的单调递减区间为，,所以函数的最大值为．
设，则当时，．
对任意，存在，使得成立，等价于．
当时，函数在区间上的最大值为，不合题意．
当时，函数在区间上的最大值为，
则，解得或，所以．当时，函数在区间上的最大值为，则，解得，所以.
综上所述，的取值范围是．
2．已知函数
(1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值与函数的单调区间；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【解析】【分析】
（1）求出，由得，再利用由、可得答案；
（2）转化为时，，容易求出，
所以只须 ，，讨论、可得答案.
(1)
，由得，
，
由得，由得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)
若要命题成立，只须当时，，
由可知 当时，
所以只须 ，对来说，，
（1）当时，在上有，∴
这时，由得；
（2）当时，，
设，则，
∴在递减，，∴当时，，
综上所述，满足题意的.
典例6．已知函数，为的导函数．
(1)求的定义域和导函数；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)若对，都有成立，且存在，使成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)在单减，也单减，无增区间
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据分母不等于0，对数的真数大于零即可求得函数的定义域，根据基本初等函数的求导公式及商的导数公式即可求出函数的导函数；
（2）求出函数的导函数，再根据导函数的符号即可得出答案；
（3）若对，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用导数求出函数的最小值即可求出的范围，，，求出函数的值域，根据存在，使成立，则0在函数的值域中，从而可得出的范围，即可得解.
(1)的定义域为，；
(2)当时，，
恒成立，所以在和上递减；
(3)若对，都有成立，
即，即，
令，，则，
对于函数，，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，当时，，所以，所以，
故恒成立，在为减函数，所以，所以，由（1）知，，所以，
记，令，，则原式的值域为，因为存在，使成立，所以，，所以，综上，．
练习1．已知函数，其中.
(1)求的单调区间；
(2)是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)答案见解析(2)不存在，理由见解析
【解析】【分析】
（1）求导，，分，，由，求解；
（2）将，对任意恒成立，转化为对任意恒成立，令（），用导数法求其最小值即可.
(1)解：因为，，所以当时，恒成立，
所以在上单调递增，当时，时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
(2)由已知得，对任意恒成立，
即为对任意恒成立，即对任意恒成立，
令（），则，当时，，
所以在上单调递增，，即，矛盾，故舍去；
当，由，得，由，得，
所以在上单调递减，单调递增，
所以（），所以（）恒成立，
令，则，当，即时，单调递增，当，即时，单调递减，所以，
因为，所以，又，，
所以不存在整数使得成立，综上所述，不存在满足条件的整数
2．设为实数，函数，.
(1)若函数轴有三个不同交点，求的范围
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】【分析】
（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；由条件，从而可得答案.
（2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
(1)，由，解得 或；由解得
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
又时，；时，
函数轴有三个不同交点，则 解得
所以函数轴有三个不同交点，实数的取值范围
(2)对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且，则且不恒为零，
故函数在上单调递增，故，
由题意可得，故.所以实数a的取值范围为
巩固练习
1．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析 (2)
【解析】【分析】
（1）求导得，然后分情况讨论即可通过导函数的正负确定的单调性. （2）将问题先转化为在上恒成立.
，构造函数，，对 进行分情况讨论，求的最小值，即可求解.
(1)
的定义域是，.
①当时，恒成立，所以在上单调递增；
②当时，令，解得或（舍），令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
(2)
若在上恒成立，即在上恒成立.
令，，
则.
当时，，，不符合题意；
当时，在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以，不符合题意；
当时，若，即，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，符合题意.
若，即，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意；
若，即，在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以，不符合题意.综上所述，实数a的取值范围是.
2．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)极大值为；极小值为.(2).
【解析】
【分析】
（1）由可得极值点为或，代入即可求得极值；
（2）参变分离变形可得，令，只要即可.
(1)
根据题意，
由，
令 可得或，
或时，，
时，，
所以的递增区间为，
递减区间为，
所以极大值为，
极小值为，
(2)
，
可得，
由可得，
令，
由可得，
当时，，为增函数，
当，，为减函数，
，
所以，
所以实数的取值范围为.
3．已知函数．
(1)若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)或(2)
【解析】
【分析】
（1）求导，，分和讨论求解；
（2）对任意的，恒成立，转化为在上恒成立求解．
(1)
解：，，
当时，恒成立，所以在上单调递增．
又，，
所以此时在上仅有一个零点，符合题意；
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，所以在上单调递减．
要使在上仅有一个零点，则必有，解得．
综上，当或时，在上仅有一个零点．
(2)
因为，所以对任意的，恒成立，
等价于在上恒成立．
令，则只需即可，
则，
再令，则，
所以在上单调递增．
因为，，所以有唯一的零点，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以，
设，则，
所以函数在上单调递增．
因为，所以，即．
所以，
则有．
所以实数a的取值范围为．
4．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求该切线的方程；
(2)若，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义，结合平行线的性质进行求解即可；
（2）对已知不等式进行变形，构造函数，利用导数的性质分类讨论进行求解即可.
(1)
由题意得，则，得.
又，
所以该切线的方程为；
(2)
由，可得.
令，，则，即，
当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，即当时，在不恒成立；
当时，，在上单调递减，恒有，所以，符合题意.
综上，的取值范围为.
【点睛】
关键点睛：构造新函数，利用导数的性质分类讨论是解题的关键.
5．已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)在内存在x，使不等式成立，求实数a的取值范围；
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导，利用导数讨论函数的单调性，由单调性判断极值情况，然后可得；
（2）将问题转化为，结合（1）可知.
(1)
∵，定义域为
∴
设，可得或（舍），
由，得；由，得，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
当x变化时，，的变化情况如下表：
1
- 0 +
单调递减 单调递增
当时，有极小值，并且极小值为，无极大值.
(2)
在内存在x，使不等式成立
等价于，由（1）知
所以，即a的取值范围为
6．已知函数f(x)＝ax－2lnx．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据实数a的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；
（2）利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可.
(1)
当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立；
当a＞0时，令得；令得；
综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；
(2)
由题意知 ax－2lnx≤x－2 在(0，＋∞)上有解
则ax≤x－2＋2lnx，．
令，
x
g'(x) ＋ 0 －
g(x) ↗ 极大值 ↘
所以，因此有
所以a的取值范围为：
【点睛】
关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键.
7．已知函数
(1)当时，求曲线在点（0，f（0））处的切线方程；
(2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出切线的斜率，即可求出切线方程；
（2）把题意转化为：存在，使得不等式成立，构造新函数，对m进行分类讨论，利用导数求
，解不等式，即可求出m的范围.
(1)
当时，,定义域为R，.
所以，.
所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：，
即.
(2)
不等式可化为：，
即存在，使得不等式成立.
构造函数，则.
①当时，恒成立，故在上单调递增，故，解得：，故；
②当时，令，解得：令，解得：故在上单调递减，在上单调递增，又，故，解得：，这与相矛盾，舍去；
③当时，恒成立，故在上单调递减，故，不符合题意，应舍去.
综上所述：m的取值范围为：.
8．已知函数．
(1)证明：曲线在点处的切线l恒过定点；
(2)若存在使得，求k的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用的导数求出在点，的斜率，再求出其切线方程，最后证明过定点；
（2）构造函数，讨论的范围，结合切线放缩及三角放缩得到的取值．
(1)
证明：由得，则，故切线l为，即，恒过定点．
(2)
即，设，
令，则时，时，，
所以，即，故当时，不成立；
当时，对于，，，
单调递增，，故存在唯一．使得，
时，，符合题意；
当时，对于有，则对任意的，都有成立．
综上，k的取值范围是．
9．已知，函数，.
（1）求在上的最小值；
（2）若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围.（已知当时，函数在上单调递减，在上单调递增）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数对称轴是否在区间内，分为，，三种情况讨论即得解；
（2）转化为，根据的单调性分，，三种情况求解，再分类讨论求解即可
【详解】
（1）因为，所以函数图象的对称轴方程.
若，即，则在上单调递增，；
若，即，则在上单调递减，在上单调递增，；
若，即，则在上单调递减，.
综上，
（2）由题意知，原不等式等价于在内，成立，
若，则在上单调递增，.
若，则在上单调递减，在上单调递增，.
若，则在上单调递减，.
故当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，不等式无解；
当时，则，因为，，所以不等式无解；
当时，则，因为，所以不等式无解.
综上，a的取值范围为.
10．已知函数．（注：是自然对数的底数）
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若只有一个极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义，结合点斜式求切线方程；（2）讨论的符号，判断的单调性，进而确定的零点；（3）要使取到最小值，则，分析可得结合零点代换处理．
(1)
当时，，故，
故在点处的切线方程为，化简得．
(2)
由题意知有且只有一个根且有正有负．
构建，则
①当时，当时恒成立，在上单调递增，
因为，
所以有一个零点，即为的一个极值点；
②当时，当时恒成立，即无极值点；
③当时，当；当，
所以在单调递减，在上单调递增，
故，
若，则即.
当时，，
当时，,
设，故，
故在上为增函数，故，
故，
故当时，有两个零点，此时有两个极值点．
当时，当时恒成立，即无极值点；
综上所述：．
(3)
由题意知，对与任意的，使得恒成立，则，又要使取到最小值，则．
当时，，故，所以的最小值为e；
当时，当时，，
所以无最小值，即无最小值；
当时，由（2）得只有一个零点，即且
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
此时，因，所以代入得，
令，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，此时，
所以的最小值为．
11．设函数，函数．
（1）求证：方程仅有一个实根；
（2）若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）结合函数的单调性即可判断函数零点个数.
（2）在上的最小值大于在上的最小值，计算函数的最小值并讨论函数的最大值即可.
【详解】
（1），
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，故，
又时时，，所以方程仅有一个实根；
（2）由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值．
因为，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．，即函数在上的最小值为．
函数为直线，当时，，显然不符合题意；
当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾；
当时，在上单调递减，的最小值为，则，即，符合题意．
故实数的取值范围是．
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
12．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的定义域与导函数，令，求出所对应的两根，再对两根的大小关系分类讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）)先求得，转化为，对任意恒成立，再构造函数，求其最小值得解.
(1)
解：因为，，
所以，令，
解得，，
当时，，由得或，由得，
所以在区间和上函数单调递增，在区间上函数单调递减．
当时，，所以函数在单调递增，没有减区间．
当时，，由得或，由得，
所以在区间和上函数单调递增，在区间上函数单调递减．
(2)
解：由（1）知，当时，函数在上单调递增，故当时，，
因为对任意，存在，使得不等式成立，所以，得，对任意恒成立．
记，则，
当时，，
若，则，从而，所以函数在上单调递增，所以当时，，符合题意，
若，则存在，使得，则在上单调递减，在上单调递增，
从而当时，，说明当时，不恒成立，不符合题意，
若，则，在上单调递减，所以当时，，不符合题意．
综上，实数的取值范围是．

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