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第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
第2课时
一、教学目标
1．能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.
2．已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形；能用尺规过一点作已知直线的垂线.
二、教学重点及难点
重点：已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．
难点：证明三线共点．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板．
四、相关资源
微课，知识卡片图片.
五、教学过程
【情境导入】
如图,为筹办一个大型运动会，某市政府打算修建一个大型体育中心P.在选址过程中，有人建议该体育中心P所在位置应与该市的三个城镇中心A，B，C的距离相等．请帮助确定体育中心的位置．
其中“体育中心P所在位置应与该市的三个城镇中心A，B，C的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．
设计意图：通过问题，让学生体会数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务，同时提高学生学习的积极性和兴趣．
【探究新知】
1.求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交与点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.
学生是第一次证明一条三角形三边的垂直平分线的性质定理，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程．
师生共同完成：
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)．
同理PB=PC．
∴PA=PB=PC．
∴P点在AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点．在这条线段的垂直平分线上)．
即 边AC的垂直平分线经过点P．
设计意图：这是线段垂直平分线的性质定理和判定定理的应用．证明三线共点的方法有些抽象，应逐步引导，学生对它的接受和理解要有一个过程.
定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置？
三角形内部　　 　　　　三角形斜边中点　　　　　三角形外部
设计意图：要注意多画几种特殊的三角形让学生亲自体验和观察结论的正确性，让学生利用自己的动手体会三类三角形三条边的垂直平分线交于一点的正确性．
2.议一议
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的一个等腰三角形吗？
学生通过小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论．
由学生思考可得：
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出无数多个三角形，由于高的位置可以不同，因此所画出的三角形不都全等，如下图：
已知：三角形的一条边a和这边上的高h．
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h．
从上图我们会发现，先作已知线段BC=a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定,我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD=A1D=h，连接AB，AC(或△A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．
（2）如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形只有两个，由于等腰三角形底边上高的位置只能在底边的垂直平分线上，因此可以在已知底边的作两个三角形，并且它们是全等的．
已知：如图，线段a，h．
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h．
作法：
（1）作线段BC=a．
（2）作线段BC的垂直平分线l交BC于D点．
（3）在l上作线段DA，使DA= h．
（4）连接AB，AC．
△ABC为所求的三角形．
设计意图：这两个问题为学生进行尺规作图的探索提供了思考空间，也为尺规作图的学习奠定了基础．
3.做一做
已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P．
你是怎样作的？你能明白小明的作法吗？
小明的方法实际上就是作以点P为中点的线段AB的垂直平分线，其具体作法如下：
1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，交直线l于点A和点B；
2.作线段AB的垂直平分线m.
直线m垂直于直线l，且经过点P.
设计意图：鼓励学生先独立思考作法，然后进行交流．
4.议一议
如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l的垂线，使它经过点P呢？说说你的作法，并与同伴交流.
具体作法：
1.任取一点K，使点K与点P在直线l两旁；
2.以点P为圆心，以PK的长为半径作弧，交直线l与点A和点B；
3.作线段AB的垂直平分线m.
直线m垂直于直线l，且经过点P.
设计意图：在上面“做一做”的基础上，进一步研究已知点在已知直线外的情况．
【典例精析】
导入问题：
如图，连接AB，AC，BC为△ABC，作AB，AC，BC的垂直平分线交于点P．
根据 “三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”．
所以点P为体育中心的地址．
【课堂练习】
1．如图，已知：AC=AD,BC=BD，那么（ ）
A．CD垂直平分AB B．AB垂直平分CD
C．CD与AB互相垂直平分 D．以上说法都正确
2．如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 　　 B．锐角三角形　　　C．钝角三角形 　 D．以上都有可能
3．如图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC，BC的垂直平分线交于点P，则∠1_____∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=_______度，∠1+∠4=_______度，∠5+∠6=__________度，∠BPC=__________度．
4．已知点P是△ABC三条边的垂直平分线的交点，则：
当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；
当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；
当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；
反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个．
5．如图，△ABC中，∠B＝∠C，点P，Q，R分别在AB，BC，AC上，且PB＝QC，QB＝RC．
求证：点Q在PR的垂直平分线上．
设计意图：考查学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理的理解和运用．
6．如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线l，m交于P．
求证：PA＝PB＝PC．
设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生灵活运用知识的能力．
答案：
1．B． 2．A．
3．=； =； =； 50； 50； 80； 100．
4．内部，斜边的中点，外部．
5．证明：在△BPQ和△CQR，
∴△BPQ≌△CQR．
∴QP＝QR．
∴点Q在PR的垂直平分线上．
6．证明：∵点P在线段AB的垂直平分线l上，
∴PA＝PB（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）．
同理PB＝PC．
∴PA＝PB＝PC．
六、课堂小结
1.到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点；
2.尺规作图．
设计意图：学生思考总结所学内容，培养学生归纳总结能力．
七、板书设计
1.3 线段的垂直平分线（2）
1．三线共点．
2．尺规作图．

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