资源简介

第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
一、教学目标
1．了解圆内接正多边形的概念
2．会用尺规作圆的内接正方形和正六边形.
二、教学重点及难点
重点：了解有关概念，会进行计算．
难点：探索正多边形的中心角、边心距、边长之间的关系．
三、教学用具
多媒体课件，圆规。
四、相关资源
多张《生活中的正多边形》图片，引入视频
五、教学过程
【情境导入】
观看下列美丽的图案：
这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？
设计意图：结合美丽的图片，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，并从中感受数学美．
【探究新知】
如下图，我们把顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．
把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形．
如下图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距．
注：还可以借助其他正多边形对这些概念举一反三。实际上，正多边形的中心指的是其外接圆（或内切圆）的圆心，半径指的是其外接圆的半径，边心距是指的是其内切圆的半径，中心角指的是其每一边所对的外接圆的圆心角．
做一做 利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师鼓励学生探索用多种方法作出圆的内接正六边形．
答：方法1，因为正六边形的中心角为60°，因此它的边长就是其外接圆的半径R．所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正六边形．
方法2，为了减少累积误差，通常像下图这样，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF．
设计意图：通过画正多边形，培养学生的画图能力．利用尺规作圆内接正六边形的方法不止一种，可鼓励学生探索多种方法．
想一想 你能利用尺规作一个已知圆的内接正四边形吗？你是怎么做的？与同伴进行交流．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并尝试完成．
答：在⊙O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，在圆周上得到四个点，依次连接这四个点，就得到了圆内接正四边形．
议一议 如何用直尺和圆规作一个已知圆的内接正五边形呢？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成．
答：（1）作⊙C；（2）作直径AB；
（3）过点C作AB的垂线交⊙C于点P；
（4）取BC的中点D；
（5）以点D为圆心，以DP为半径作弧交AB于点E；
（6）以点P为圆心，以PE为半径作弧交⊙C于点F；
（7）在⊙C上依次截取等于PF的弦，就可以作出圆的内接正五边形．
设计意图：加深学生对正多边形与圆相关知识的理解，进一步熟悉如何画正多边．
【典例精析】
例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程．
解：如图，连接OD．
∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠COD==60°．∴△COD为等边三角形．
∴CD=OC=4．在Rt△COG中，OC=4，CG=BC=×4=2，
∴OG=．
∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为．
设计意图：教师通过引导学生将半径、中心角、边心距等数量，在一个直角三角形中联系起来，将多边形化归为三角形，体现了化归思想．正n边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半．
【课堂练习】
1．P是正六边形ABCDEF的外接圆上的一点，则∠APB的度数为（ ）．
A．60° B．120°
C．30° D．30°或150°
2．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）．
A． B．
C． D．
3．正六边形的边心距与边长之比为（ ）．
A．∶3 B．∶2
C．1∶2 D．∶2
4．如图，正六边形内接于⊙O，⊙O的半径为10，则圆中阴影部分的面积为___________．
5．如图，点M，N分别是正八边形相邻两边AB，BC上的点，且AM=BN，则∠MON=_______度．
6．分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．D．2．C．3．B．
4．100π-．5．45．
6．解：如图所示，连接OB，OC．过点O作OG⊥BC交BC于点G．
∵△ABC为圆内接正三角形，∴∠BAC=60°．∴∠BOC=120°．
∴∠COG=60°．∴∠OCG=30°．在Rt△COG中，边心距OG=(cm)，
由勾股定理，得CG=(cm)．∴边长BC=2CG=(cm)．
设计意图：让学生在练习过程中，进一步熟悉本节课的重点内容．
六、课堂小结
1．圆内接正多边形及其相关概念
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形；这个圆叫做该正多边形的外接圆．
2．正多边形的有关概念
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；
外接圆的半径叫做正多边形的半径；
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．
设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
3.8 圆内接正多边形
1．圆内接正多边形及其相关概念
2．正多边形

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