资源简介

1.1.1空间向量及其线性运算
一、内容及内容解析
1.内容
（1）空间向量及相关概念
（2）空间向量的概念、表示法，以及长度（模）、零向量、单位向量、相反向量、共线向量（平行向量）、相等向量等相关概念
（3）空间向量的线性运算
（4）空间向量线性运算的运算律
（5）空间向量共线的充要条件
（6）空间向量共面的充要条件
本单元教学需2课时.第一课时，空间向量及其运算；第二课时，空间向量的数量积运算.这里给出第一课时的教学设计.
2.内容解析
（1）内容的本质
向量是具有大小和方向的量，这一概念既适用于平面，也适用于空间.实际上，平面向量都可以看作空间向量，空间向量的概念、表示与平面向量具有一致性.
另外，由于任意两个空间向量都可以平移到一个平面内，两个空间向量的加法、数乘、数量积运算与平面向量也具有一致性.因此学习本节内容的主要方法是类比，即类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念，类比平面向量的运算学习空间向量的运算，类比用平面向量解决平面几何问题的方法利用空间向量解决简单的立体几何问题.
教学中，要充分关注这种学习的可迁移性，鼓励学生自主探究，在梳理平面向量及其运算的学习内容、过程和方法的基础上，类比提出空间向量及其运算的学习内容、过程和方法，将平面向量及其运算推广到空间.
（2）蕴含的思想与方法
教学中，要结合具体问题，引导学生类比利用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”的思路和方法.
（3）培育的数学核心素养
学习利用空间向量解决立体几何问题，从中体会用空间向量解决立体几何问题的基本思路和方法，发展数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养.
（4）教学重点
在用空间向量解决立体几何问题的过程中，首先要用空间向量表示立体图形中的几何元素，然后利用空间向量的运算研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题，最后再把空间向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.因此，空间向量的概念及其运算的内容是用空间向量解决立体几何问题的基础，也是本节教学的重点.
二、目标与目标解析
1.本单元教学目标
经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.
经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.
掌握空间向量的线性运算和数量积运算.
了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
通过注意引导学生与平面向量及其运算作类比，让学生经历向量由平面向空间推广的过程；
结合具体实例，学生能在教师启发引导下，掌握在展开空间向量及其运算内容时,教科书同步安排了利用空间向量解决相关的简单立体几何问题的实例；
熟练掌握空间向量的基本概念和基本运算.
三、教学问题诊断分析
1.问题诊断
在本节学习中，由于学生已有“立体几何初步”的基础，已有空间直线、平面平行、垂直等概念，将向量的概念、运算从平面推广到空间对学生来说并不困难，但这一过程仍要一步步地进行.由于现在研究的范围已由平面扩展到空间，而我们研究的是自由向量，一个向量可以确定空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已经不只是一个平面，而是互相平行的“平面集”，这些都需要学生对向量有新的理解.另外，尽管在形式上空间向量的运算、运算律和平面向量一致，但在空间它们的几何表示是不同的，因此需要学生在空间上进一步体会其运算法则、验证其运算律，提高空间想象力，发展直观想象的数学学科核心素养.
2.教学难点
在本节，教科书在给出共线、共面向量的充要条件之后，安排了证明立体几何中四点共面的问题；在数量积运算之后安排了证明直线与平面垂直的判定定理以及其他一些简单的立体几何问题等.对于这些问题，尽管学生已经有了用平面向量解决平面几何问题的一些经验，但是由于初次接触用空间向量解决立体几何问题，图形的维数增加了，也更加抽象了，学生对于如何用空间向量表示立体图形中的相关元素，如何通过运算得出这些元素间的几何关系还比较陌生，因此这是本节教学中的难点.
四、教学支持条件分析
1.技术支持
利用电脑、互联网,可以非常方便快捷地查找到有关史料故事、拓宽视野,感悟数学的文化价值,提高学生的数学文化素养；借助计算器或电脑,可以计算较大数目的数量,获得比较精准的数值；借助实物投影或PPT，展示学生的学习成果，
2.知识储备
让学生体验“文化背景一方法探究——求和公式—公式应用”的完整过程.
五、课时教学设计
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.课时教学内容
本节包括空间向量及相关概念、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算等内容.
2.课时教学目标
类比平面向量引入了空间向量及相关概念、空间向量的表示、共线向量与相等向量，并类比平面向量的加减、数乘运算和运算律，引入空间向量的加减、数乘运算和运算律，类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题.
通过本小节的学习，应使学生理解空间向量及相关概念，掌握空间向量的表示，掌握空间向量的加减、数乘运算及其运算律等内容，并能借助图形理解空间向量线性运算及其运算律的意义.
3.教学重点、难点
重点：空间向量及其相关概念，空间向量的线性运算，空间向量的数量积.
难点：用向量方法解决立体几何问题.
4.教学过程设计
环节一 创设情境引入课题
引导语 章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景．
可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等．显然，这些力不在同一个平面内，联想用平面向量解决物理问题的方法，你能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？
师生活动 学生独立思考、作答，教师展示研究路径，板书空间向量及其运算，揭晓课题：下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始．
［设计意图］主要方法是类比，即类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念，类比平面向量的运算学习空间向量的运算，类比用平面向量解决平面几何问题的方法利用空间向量解决简单的立体几何问题.教，使学生亲历研究的过程，积累基本活动经验.
问题情境1
问题1 能否类比平面向量，给空间向量下个定义？
与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(spacevector)，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模(modulus)．
空间向量用字母 ，，，…表示．空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示．
印刷体用合体，书写用，
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模．
问题2 空间向量是平面向量的推广，能否给出一些空间向量相关概念？
如图1.1-1，向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或．
图1.1-2所示的正方体中，过同一个顶点的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为，，，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量．
空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致．
环节二 观察分析 感知概念
与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量(zerovector)，记为．
当有向线段的起点与终点重合时，．
模为1的向量叫做单位向量(unitvector)．
与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记为．
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量(collinervectors)或平行向量(parallelvectors)．
我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有．方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equalvectors)．因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．
环节三 抽象概括 形成概念
问题3 类比平面向量的线性运算，空间向量的加法、减法如何定义？
如图1.1-3，已知空间向量，，以任意点为起点，作向量，，我们就可以把它们平移到同一个平面内．
数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．
由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法(图1.1-4)以及数乘运算(图1.1-5)：
（1）；
（2）；
（3）当时，；当时，；当时，．
环节四 辨析理解 深化概念
问题4想一想，向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗？
与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律(其中)：
交换律：；
结合律：，；
分配律：，．
问题5你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？
如图1.1-6，在平行六面体中，分别标出，表示的向量．从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系
可以发现，，一般地，对于三个不共面的向量，，，以任意点为起点，，，为邻边作平行六面体，则，，的和等于以为起点的平行六面体对角线所表示的向量．另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．
探究1
对任意两个空间向量与，如果，与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系时，
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使．
如图1.1-7，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．
我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量(directionvector)．这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定．
如图1.1-8，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)．
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的．
问题6，什么情况下三个空间向量共面呢？
探究2
对平面内任意两个不共线向量，，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量可以写成，其中是唯一确定的有序实数对．
对两个不共线的空间向量，，如果，那么向量与向量，有什么位置关系？
反过来，向量与向量，有什么位置关系时，？
可以发现，如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
环节五 概念应用 巩固内化
例1如图1.1-9，已知平行四边形，过平面外一点，作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使．求证：，，，四点共面．
分析：欲证，，，四点共面，只需证明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量运算由，，共面的表达式推得，，共面的表达式．
证明：因为，所以，，，．
因为四边形是平行四边形，所以．因此
．
由向量共面的充要条件可知，，，共面，又，，过同一点，
从而，，，四点共面．
选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是解决立体几何问题的常用方法．
环节六 归纳总结 反思提升
本节课的学习我们知道向量是具有大小和方向的量，这一概念既适用于平面，也适用于空间.由于空间向量是平面 向量的推广，因此空间向量及其相关概念、空间向量的表示法等与平面向量都是一致的.
类比平面向量引入了空间向量及相关概念、空间 向量的表示、共线向量与相等向量，并类比平面向量的加减、数乘运算和运算律，引入空间向量 的加减、数乘运算和运算律，类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题
理解空间向量及相关概念，掌握空间向量的表示，掌握空间向量的加减、数乘运算及其运算律等内容，并能借助图形理解空间向量线性运算及其运算律的意义.
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
本节课学习的概念有哪些？
本节课体现的主要数学思想方法有哪些》
环节七 目标检测，作业布置
作业布置：教科书P5练习—1.2.3
练习（第5页）
1．举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．
1．解：三棱锥中，，，不同在一个平面内；
长方体中，，，不同在一个平面内．
生活中的例子，如墙角的三条棱所在的直线可用于表示三个不同在一个平面内的向量．
2．如图，，分别是长方体的棱，的中点．化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
2．解：（1）；(2)；
(3)；(4)．
化简结果的向量如图所示．
3．在图1.1-6中，用，，表示，及．
3．解：；
；
．
4．如图，已知四面体，，分别是，的中点．化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
(1)；(2)；(3)．
4．解：（1）；
（2）；
（3）．如图所示．
5．如图，已知正方体，，分别是上底面和侧面的中心．求下列各式中，的值：
（1）；（2）；（3）．
5．解：（1），．
（2），
，；
（3）方法1：∵，
，．
方法2：为的中点，
，，．
方法3：为的中点，
，，．

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