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第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
教学设计
教学目标
1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的关系.
2.能选择文字语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
3.能用列举法和描述法表示对应的集合，并能做到表述方法的转换.
教学重难点
教学重点：了解集合的含义以及集合的三个特征.
教学难点：集合与元素之间的关系.
教学过程
新课导入
探究下列问题：
（1）1~10之间的所有偶数；
（2）立德中学今年入学的全体高一学生；
（3）所有正方形；
（4）到直线的距离等于定长的所有点；
（5）方程的所有实数根；
（6）地球上的四大洋.
思考：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？
新知积累
探究一：集合的概念
1.集合的概念
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.
问题1 “很大的数”能否构成一个集合？
答案：不能，组成它的元素不确定.
结论：集合中的元素是确定的.
问题2 由1，3，0，这些数组成的一个集合中有几个元素？
答案：集合中有3个不同元素1，3，0.
结论：集合中的元素是互异的.
若构成两个集合的元素是一样的，则称这两个集合相等.
问题3 高一（2）班的全体男生组成一个集合，调整几个男生的座位后这个集合有没有变化？
答案：集合没有变化.
结论：集合中的元素是没有顺序的.
问题4 小组讨论，归纳集合中元素的特性.
归纳：集合中元素的三个特征：
（1）确定性：对于给定的集合，元素必须是确定的.
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，相同的对象归入同一个集合时，只能算作集合的一个元素.
（3）无序性：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.
2集合与元素的表示
一般地，把研究对象统称为元素，常用小写字母，，表示.把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），常用大写字母，，，表示.
探究二：元素和集合的关系
问题5 已知下面的两个实例：
（1）用表示学校全体老师组成的集合；
（2）用表示高一（1）班的语文老师，表示高一（2）班的一位男同学.
思考：那么，与集合分别有什么关系？
解：是集合中的元素，不是集合中的元素.
概念：如果是集合的元素，就说属于集合，记作；如果不是集合中的元素，就说a不属于集合，记作.
常用的数集及其记法：
N：非负整数集（或自然数集）；
或：正整数集；
Z：整数集；
Q：有理数集；
R：实数集.
探究三：集合的表示方法
1.列举法
问题6 方程的所有实数根组成的集合，如何表示？
答案：可以表示为{1，2}.
列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
2.描述法
问题7 能否用列举法表示不等式的解集？该集合中的元素有什么特征？
解析：不能，但是可以看出，这个集合中的元素满足特征：
（1）集合中的元素都大于5；（2）集合中的元素都是实数.
这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，写作：.
问题8 奇数集怎么表示？偶数集怎么表示？有理数集怎么表示？
奇数集可以表示为，
偶数集可以表示为，
有理数集可以表示为.
问题9 通过以上问题总结归纳出描述法的概念.
描述法：一般地，设是一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.
问题10 列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？
答案：列举法是把每个元素一一列举出来，非常直观明显地表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.
例题巩固
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合.
解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么.
（2）设方程的所有实数根组成的集合为B，
那么.
例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合：
（1）方程的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.
解：（1）设，则x是一个实数，且.
因此，用描述法表示为.
方程有两个实数根，，
因此，用列举法表示为.
（2）设，则x是一个整数，即，且.
因此，用描述法表示为.
大于10且小于20的整数有
11，12，13，14，15，16，17，18，19，
因此，用列举法表示为.
课堂练习
1.下列集合中表示同一集合的是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
答案：B
解析：根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样：
A、和是不同元素，故A错误；
B、根据集合元素具有无序性，则，故B正确；
C、因为M中的元素是有序实数对，而N中的元素是实数，故C错误；
D、因M中有两个元素即：1，2；而N有一个元素是，故D错误.
故选：B.
2.给出下列关系：
①；②；②；④；⑤.
其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：D
解析：根据元素与集合的关系：
①，正确；②，正确；③，正确；④，正确；⑤，错误.故正确的个数为4.
3.集合，用列举法可以表示为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：因为，所以.
因为，所以是6的约数，
所以或或或
由，得；由，得；
由，得；由，得；
由，得，与已知矛盾，故；
由，得；
由，得，与已知矛盾，故；
由，得.
故的值只能是，1，，2，，，
对应的值依次为，6，，3，，，即.
4.设集合，若，则( )
A.-3或-1或2 B.-3或-1 C.-3或2 D.-1或2
答案：C
解析：当时，解得，则，符合题意.当时，解得或.当时，，不满足元素的互异性，不符合题意；当时，，符合题意.所以或.故选C.
小结作业
小结：本节课学习了集合的概念.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
1.1 集合的概念
1.集合与元素
2.集合中的元素的三个特征
3.元素与集合的关系
4.集合的表示方法。

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