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第四章 数列
4.1 数列的概念
教学设计
教学目标
1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法（列表、图象、通项公式）以及数列的分类.
2.了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质.
3.理解数列的通项公式的意义，了解数列的递推公式，了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同.
4.理解数列的前n项和，并能用数列的前n项和求出数列的通项公式.
教学重难点
教学重点：数列的概念和表示方法、数列的通项公式及递推公式的应用、由数列的前n项和求通项公式.
教学难点：数列通项公式的理解及应用、数列递推公式的认识及应用、由数列的前n项和求通项公式.
教学过程
新知积累
1.数列的相关概念及分类
一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示.其中第1项也叫做首项.
2.数列的符号表示
数列的一般形式是，，…，，…，简记为.
3.从函数角度看数列
①数列与函数的关系
由于数列中的每一项和它的序号n有下面的对应关系：
序号 1 2 3 … n …
项 …… …
所以数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项，记为.也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列.另一方面，对于函数，如有意义，那么，，…，，…构成了一个数列.
②数列的函数表示法及性质
（1）列表法和图象法
与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示.
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数：
定义域 正整数集N*（或它的有限子集）
解析式 数列的通项公式
值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成
表示方法 （1）通项公式（解析法）；（2）列表法；（3）图象法
（2）数列的单调性
与函数类似，可以定义数列的单调性，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列. 特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
4.数列的通项公式
如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
例题巩固
例l 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
（1）；
（2）.
解：（1）当通项公式中的时，
数列的前5项依次为，图象如图所示.
（2）当通项公式中的时，
数列的前5项依次为，图象如图所示.
例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）；
（2）.
解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为.
（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为.
例3 如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
解：令，
解得（舍去），或.
所以120是数列的项，是第10项.
例4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.
解：在图（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是.
5.数列的递推公式
若一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子叫做这个数列的递推公式. 知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
例题巩固
例5 已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项.
解：由题意可知，
，
，
，
，
.
6.数列的前n项和
①数列的前n项和的定义
数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作，即.
②数列的前n项和公式
如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.
③由求通项公式
，，所以.
例题巩固
例6 已知数列的前项和公式为，求的通项公式.
解：因为，
，
并且当时，依然成立.
所以的通项公式是.
课堂练习
1.若数列的前4项分别是，，，，则此数列一个通项公式为( ).
A. B. C. D.
答案：A
解析：设所求数列为，可得出，，，，因此该数列的一个通项公式为.故选A.
2.已知数列满足(，)，，是的前n项和，则( ).
A. B. C.6 D.10
答案：A
解析：因为，所以，故.故选A.
3.（1）已知数列的通项公式为，若数列为递增数列，求的取值范围；
（2）已知数列的通项公式为，求数列的最大项.
解析：（1）由已知，只需，所以.
（2）由，得，
所以当时，数列为递增数列，当时，数列为递减数列，
从而为数列的最大项.
小结作业
小结：本节课学习了数列的概念和表示方法、数列的通项公式及递推公式的应用、由数列的前n项和求通项公式.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
4.1 数列的概念
1.数列的相关概念及分类
2.数列的符号表示
3.从函数角度看数列
4.数列的通项公式
5.数列的递推公式
6.数列的前n项和

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