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第二十二章 二次函数
22.1.1二次函数
教学设计
一、教学目标
1.结合具体情境分析确定函数解析式，体会二次函数的意义和相关概念
2.在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究得到发现的乐趣，同时进一步体会建立函数模型的思想
3.能利用二次函数解析简单的实际问题
二、教学重难点
1. 教学重点
结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念
2. 教学难点
寻找、发现实际生活中的二次函数问题
三、教学过程
（一）新课导入
让学生观看图片
雨后填空的彩虹、河上架起的拱桥等都会形成一条曲线
从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线.在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度y与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？
（二）探索新知
回顾
1.什么叫函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
2.什么是一次函数？正比例函数呢？
一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数．当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx，是正比例函数．
3.一元二次方程的一般形式是什么？
问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式为：
此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数．
问题2 n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
分析：每个球队要与其他个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为.
即
此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有唯一的一个对应值，即m是n的函数．
问题3 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
分析：这种产品的年产量是20件，一年后的产量是件，再经过一年的产量是件，即两年后的产量y=
答：
此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数．
思考：函数，，有什么共同点？
分析：认真观察以上三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数.
函数解析式 自变量 函数
这些函数自变量的最高次项都是二次！
二次函数定义：一般地，形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
注意：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式．
（2）a，b，c是常数，且a≠0
（3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项．
（4）x的取值范围是任意实数.
例1 下列函数中，哪些是二次函数？
（1） ×
（2） √
（3） ×
（4） ×
（5） ×
例2 若是二次函数，求的值和函数解析式.
解：由题意得
.
例3 从地面向上抛一个小球，小球的飞行高度y（m）与飞行时间t（s）之间的关系式为.
（1）抛出小球2 s后，小球的飞行高度是多少？
（即当t=2时，计算此时对应的y值.）
解：当时，，
故抛出小球2 s后，小球的飞行高度是20 m.
（2）小球飞行多长时间后，飞行高度是15m？
解：当时，，
即，
解得.
故小球飞行1 s和3 s时，飞行高度是15m.
例4 把一根8m长的钢筋，焊接成一个如图所示的框架，使其下部为矩形，上部为半圆形．请写出框架的面积y（m2）与半圆的半径x（m）之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）
解：由题意，得，
即.
练习
1.已知二次函数，当时，y的值是____________.
答案：
解析：当时，.
2.某公司销售一种绿茶，每千克的成本为50元市场调查发现，在一段时间内，销量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体表达式为.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y元，解答下列问题：
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)请指出y是x的什么函数，并指出各项系数.
解析：(1)因为总利润=每千克利润×销量，所以，
即，所以y关于x的函数表达式为.
(2)因为二次项系数不为0，所以该函数为二次函数，二次项系数为，一次项系数为340，常数项为.
3.某服装专营店以每件60元的价格购进一款毛衣，试销中发现这款毛衣每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系.
（1）请写出商场卖这款毛衣每天的销售利润w（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式；
（2）若商场每天销售这款毛衣的销售利润为1680元，且销售单价不超过80元，试求出商场每天销售这款毛衣的单价.
解析：（1）由题意得，每件毛衣的销售利润为元，那么y件的销售利润为元，
又，，即.
，.
又，，即.
..
（2）由题意，得.
解得，（舍去）.
商场每天销售这款毛衣的单价为80元.
（三）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.二次函数的定义
3.能判断二次函数中的a，b，c
4.能用二次函数解决实际问题
作业：
四、板书设计
22.1.1二次函数
函数关系式
二次函数的定义
重点例题分析
2

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