资源简介

2.4.2圆的一般方程 教学设计
课时教学内容
圆的一般方程
课时教学目标
1.通过将圆的标准方程变形成一般方程，理解圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的联系，培养学生数学抽象的核心素养.
2.通过对圆的一般方程和标准方程的互化，能正确理解圆的一般方程中系数所满足的条件，发展学生数学运算的核心素养.
3.通过具体例题的讲解，能掌握求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升学生逻辑推理和直观想象的核心素养.
教学重点、难点
1.重点：掌握圆的一般方程及其特点并会求圆的一般方程.
2.难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题.
教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
问题1：我们知道，方程表示以为圆心，2为半径的圆．可以将此方程变形为．
一般地，圆的标准方程可以变形为
（2）
的形式．反过来，形如（2）的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？
师生活动：（1）学生们热烈讨论，教师适当引导提示.
（2）追问1：方程表示什么图形？
（3）学生自主对方程进行配方得到，学生总结“该方程表示以（1，-2）为圆心，2为半径的圆”.
（4）追问2：方程表示什么图形？
（5）学生通过配方得到，由于不存在这样的使方程成立，所以该方程不能表示任何图形.
环节二 观察分析，感知概念
例如，对于方程，对其进行配方，得，因为任意一个点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形．所以，形如（2）的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程．这表明，形如（2）的方程不一定是圆的方程．
师生共同总结：这表明形如的方程不一定是圆的方程.
设计意图：引导学生认识圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的关系.
环节三 抽象概括，形成概念
问题2：方程中的，，满足什么条件时，这个方程表示圆？
将方程（2）的左边配方，并把常数项移到右边，得
．
（1）当时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程（2）表示以为圆心，为半径的圆；
（2）当时，方程（2）只有实数解，，它表示一个点；
（3）当时，方程（2）没有实数解，它不表示任何图形．
因此，当时，方程（2）表示一个圆．我们把方程（2）叫做圆的一般方程(general equation of circle)．
设计意图：由特殊到一般，引导学生思考，总结，从而自然引出方法，得到结论，培养学生的逻辑思维能力，类比迁移能力；再由一般到特殊，检验学生的掌握情况和应用水平.
环节四 辨析理解 深化概念
问题3：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
例4求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
分析：将，，点的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程．
解：设圆的方程是
． ①
因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于，，的一个三元一次方程组
解这个方程组，得
所以，所求圆的方程是．
由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，半径．
与例2的方法比较，你有什么体会？
师生活动：（1）教师引导学生观察和思考，根据两个方程的形式特点，启发学生得出结论.
（2）学生回答：圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径（重“形”）,而圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程,方程的代数特征非常明显（重“数”）.
（3）求过三点的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于，，或，，的方程组；
（3）解出，，或，，，得到标准方程或一般方程．
设计意图：培养学生的独立思考能力，总结归纳的能力.通过归纳总结使学生明白两个方程的区别并促进学生思考在不同的情境下使用不同的方程.
问题4：与课本P83例2的方法比较，有什么体会呢？
师生活动：（1）教师引导学生观察比较两种运算量的区别，启发学生思考哪种运算更简洁.
（2）学生自主讨论得出结论：例4的解答过程中，教科书选择了先求圆的一般方程，再求出圆心坐标和半径，用的仍然是待定系数法来解.这里选用圆的一般方程，与例2中选用标准方程的方法相比，运算就显得容易一些.容易的原因是得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组.而用圆的标准方程的话，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项.一般来说，解一次方程比解二次方程容易.
（3）追问1：请同学们总结用待定系数法求圆的方程的大致步骤:
①根据题意，选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于或的方程组；
③解出或，得到标准方程或一般方程.
设计意图：通过对比两种解题方法，加深学生思考，优化解题步骤，培养学生良好的数学思维习惯和反思总结的能力
环节五 概念应用，巩固内化
问题5：请同学们做课本例5，思考探究如何求与圆相关的轨迹方程问题？
师生活动：（1）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程
例5已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点 的轨迹方程．
点的运动轨迹是指点的坐标满足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）．
分析：如图2.4-4，点运动引起点运动，而点在已知圆上运动，点的坐标满足方程．建立点与点坐标之间的关系，就可以利用点的坐标所满足的关系式得到点的坐标满足的关系式，求出点的轨迹方程．
解：设点的坐标是，点的坐标是．由于点的坐标是，且是线段的中点，所以
，
于是有
，． ①
因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即
． ②
把①代入②得
．
整理，得
．
这就是点的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆．
根据上述例题，大家可以总结求解轨迹方程的一般步骤吗？
师生总结：相关点法：利用所求曲线上的动点与已知曲线上的动点的关系，找到关系式，列式求出.
设计意图：通过分析解题思路，给出解答示范，提升学生推理论证的能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
环节六 归纳总结,反思提升
圆的一般方程：1.圆的一般方程满足的特点.
圆的一般方程中D、E、F满足的条件.
与圆有关的轨迹方程的求法.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：页习题2.4第7、8、9题.
练习（第88页）
1．求下列各圆的圆心坐标和半径：
（1）；（2）；
（3）．
1．解析：（1）圆心坐标为，半径长为3；（2）圆心坐标为，半径长为；
（3）圆心坐标为，半径长为．
2．判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由：
（1）； （2）； （3）．
2．解析：（1）方程表示一个点；
（2）方程表示圆心坐标是，半径长是的圆；
（3）当时，方程表示圆心坐标是，半径长是的圆；当时，方程表示一个点．
3．如图，在四边形中，，，且，，与间的距离为3．求等腰梯形的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
3．解析：（方法1) 由题意可知，，，
设所求圆的方程为．
则，解得．
故所求圆的方程为，其圆心坐标为，半径长为．
(方法2)由题意，可得点的坐标是，点的坐标为，
线段的中点坐标是，直线的斜率，
线段的垂直平分线的方程是，与方程联立，解得，
所以四边形外接圆的圆心的坐标是，半径长为，
所以四边形的外接圆的方程是，
这个圆的圆心坐标为，半径长为．
习题2.4（第88页）
1．求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
1．解析：（1）圆的圆心坐标是，半径长；
（2）圆的圆心坐标是，半径长；
（3）圆的圆心坐标是，半径长；
（4）圆的圆心坐标是，半径长．
2． 求下列各圆的方程，并画出图形：
（1）圆心为点，且过点；
（2）过，，三点．
2．答案：（1）半径长，圆的方程是．
（2）（方法1)设经过，，三点的圆的方程为． ①
把，，的坐标分别代入①，得，解此方程组，得．
所以，经过，，三点的圆的方程是．
（方法2)设圆的方程为，则，解得，
所以圆的方程为．
（方法3)已知，，，所以，，的中点坐标为，的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，
的垂直平分线方程为，即．由，解得
所以圆心坐标为，半径，所以经过，，三点的圆的方程是．
3．已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，求圆的标准方程．
3．解析：（方法1）设所求圆的方程为，由题设，
得，解此方程组，得，
所以，所求圆的标准方程是．
（方法2）因为圆心在直线上，所以可设圆心的坐标为．
因为圆经过原点和点，所以．即，解得．所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为．
说明：本题也可以先求出线段的垂直平分线的方程，然后与方程联立，求出圆心坐标为，再求出半径长，从而求出圆的标准方程．
4．圆的圆心在轴上，并且过和两点，求圆的方程．
4．解析：由题设，线段的中点坐标是，直线的斜率．
所以线段的垂直平分线的方程是
与轴的方程联立，解得，即圆心的坐标是，半径长．
所以所求圆的方程为．
5．已知圆的一条直径的端点分别是，，求证此圆的方程是
．
5．证明：（方法l) 因为直径的两个端点为，，
所以圆心坐标和半径长分别为，．
所以圆的方程，
化简得．
（方法2)设是圆上不同于，的任意一点由知，，
即 ①
反过来，坐标满足①式的点，一定满足，即该点在以为直径的圆上．
又因为点，的坐标也满足上式，所以所求圆的方程为．
6．平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？
6．解析：是．设经过，，三点的圆的方程为． ①
把，，的坐标分别代入①，得，解此方程组，得，
所以经过，，三点的圆的标准方程是．
把点的坐标代入上面方程的左边，得．
所以点在经过，，三点的圆上，即，，，四点在同一个圆上．
7．已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，求底边的另一个端点的轨迹方程，并说明它是什么图形．
7．解析：如图，根据题意，等腰三角形的底边另一个端点在以为圆心，经过点的圆上，且除去点以及点关于点对称的点．
设与点关于点对称的点是，则有，解得，
所以点关于点对称的点是．又．
所以的轨迹是圆且，．
8．长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
8．解析：如图，设线段的中点为，点运动时，到原点的距离为定长，即的斜边上的中线长．因为，即点的轨迹是以为圆心，为半径长的圆．根据圆的标准方程，点的轨迹方程为．
9．已知动点与两个定点，的距离的比为，求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
9．解析：设点的坐标为，根据题设条件有，因为，，所以有，化简，得
由以上过程知，满足条件的点的坐标满足方程；
反过来，坐标满足方程的点也满足，
即满足条件，所以点的轨迹方程是．
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆．
说明：设出所求轨迹上任一点的坐标，再将其代入题中的几何等量关系并化简方程，这种求轨迹方程的方法叫直译法．
10．在平面直角坐标系中，如果点的坐标满足
其中为参数．证明：点的轨迹是圆心为，半径为的圆．
10．证明：因为，所以，
因为，所以，所以
所以点的轨迹是圆心为，半径为的圆．

展开更多......

收起↑