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13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
1.掌握等边三角形的定义.
2.理解等边三角形的性质与判定定理.
3.经过应用等边三角形的性质与判定的过程培养学生分析问题、解决问题的能力.
4.通过对等边三角形的学习，了解等边三角形的对称美,增强应用数学知识解决实际问题的信心.
【教学重点】
等边三角形的性质和判定方法.
【教学难点】
等边三角形性质的应用.
一、 情境导入，初步认识
在等腰三角形中,有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形,它叫等边三角形.请大家画图并结合等腰三角形的知识探讨等边三角形具有哪些特征,同学间互相交流.教师归纳总结如下:
1.等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.
2.等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.
3.三角都相等的三角形是等边三角形.
4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
其中,前两个是等边三角形性质,后两个是等边三角形的判定.
【教学说明】学生的发言会是多方位多角度的,教师应从边、角、对称性等类型归纳.同时强调,作为特殊的等腰三角形,等边三角形首先具备等腰三角形的所有性质.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.
二、思考探究，获取新知
例1 如图,已知P,Q是△ABC的边BC上两点,且PB=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的大小.
【分析】由已知显然可知△APQ是等边三角形,每个角都是60°.又知△APB与△AQC都是等腰三角形,两底角相等,由三角形外角性质即可推得∠PAB=30°.
解:∵AP=AQ=PQ,
∴△APQ是等边三角形.
∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°.
又∵AP=PB,
∴∠PAB=∠PBA.
又∵∠APQ=∠PBA+∠PAB,
∴∠PAB=30°.
同理∠QAC=30°.
∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=120°.
【教学说明】本例综合应用等边三角形与等腰三角形在角方面的性质,要求解题要规范,表述要有条理,言必有据,可让学生说出过程中每一步的依据.
例2 在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F.求证：△OEF是等边三角形.
【分析】由角平分线得∠OBC=∠OCB=30°,再根据线段垂直平分线的性质可得OE=BE,OF=CF.据此可计算出∠OEF及∠OFE的度数，进而可证得△OEF是等边三角形.
【证明】∵E,F分别是BO,CO的垂直平分线上的点，
∴OE=BE,OF=CF.
∵△ABC是等边三角形，且OB,CO分别平分∠ABC,∠ACB,
∴∠OBE=∠BOE=∠OCF=∠COF=30°.
∴∠OEF=∠OFE=60°.
∴∠EOF=60°.
∴△OEF是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）.
【教学说明】
证明一个三角形是等边三角形，要灵活运用判定方法，根据已知提供的条件灵活选择，本题可用多种方法证明.
三、运用新知，深化理解
1.△ABC中,AB=BC,∠B=∠C,则∠A= .
2.下列说法不正确的是( ).
A.有两个角为60°的三角形是等边三角形
B.有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C.有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
D.三个外角都相等的三角形是等边三角形
3.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则△P1OP2是( )三角形.
A.直角 B.钝角 C.等腰 D.等边
4.如图,在等边△ABC中,D为BC上一点,BD=2CD,DE⊥AB于E,CE交AD于P.求∠APE的度数.
【教学说明】用多媒体(或小黑板)出示以上问题,学生可在老师指导下完成,巩固所学知识.
【答案】1.60° 2.C 3.D
4.解：∵△ABC为等边三角形.
∴∠B=∠ACB=60°，AC=BC，
又∵DE⊥AB，∠B=60°，
∴∠BDE=30°.
∴BE=BD，而BD=2CD
∴BE=CD.
在△BCE和△CAD中
∴△BCE≌△CAD，
∴∠BCE=∠DAC
而∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠DAC+∠ACE=60°.
∴∠APC=120°，
∴∠APE=60°.
四、师生互动，课堂小结
教师指导学生回忆本节所学知识点,学生间交流,互相查漏补缺.
1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.
2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.
本课时学习特殊的等腰三角形——等边三角形，可让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组间充分交流后概括所得结论，这既巩固等腰三角形的应用知识，又类比探索等腰三角形性质和判定定理的方法，加深了对等腰三角形与等边三角形联系与区别的理解.

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