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第2课时 等腰三角形的判定
1.理解掌握等腰三角形的判定.
2.运用等腰三角形判定进行证明和计算.
3.通过推理证明等腰三角形的判定定理,发展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力.
4.引导学生观察,发现等腰三角形的判定方法,获得成功的感受，并在这个过程中体验学习的乐趣.
【教学重点】
等腰三角形的判定定理.
【教学难点】
等腰三角形判定定理的证明.
一、情境导入，初步认识
先请学生回忆等腰三角形的性质,再向学生提出下列问题.
问题1 如图,位于海上A,B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素).
引导学生作如下思考:
(1)应该能同时赶到出事地点,因为两艘救生船的速度相同,同时出发,在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.
(2)能同时赶到O点位置的一个很重要的因素是∠A=∠B,也就是说如果∠A不等于∠B,那么同时以同样的速度出发就不能同时赶到出事地点.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
问题2 根据上述探究,考虑:“在一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边也相等”，并证明这个结论.
1.指导学生表述结论并写出证明过程.
2.指出表述要严谨,如不能说成：“如果一个三角形的两个底角相等，那么它是等腰三角形”.
二、思考探究，获取新知
例1 求证：如果一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
【教学说明】本题是文字叙述的证明题,先应将文字语言转化为相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形.
要证明这个问题,由特征结论联想“等角对等边”，而等角由已知的平行线和角平分线可推得.
例2 如图,标杆AB高5m,为了将它固定,需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D,E两点拉两条绳子,使得D,B,E在一条直线上,量得DE=4m,绳子CD和CE要多长
【教学说明】
这是一个与实际生活相关的问题,要解决这类问题,需要将实际问题抽象为数学模型.本题的实质是已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长的问题.
解：如图(2),选取比例尺为1∶100.
①作线段DE=4cm.
②作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B.
③在MN上截取BC=2.5cm.
④连接CD,CE,△CDE就是所求的等腰三角形,量出CD的长,就可以计算出要求的绳长.
例3 如图,已知△ABC中,AB=AC,BD,CE分别是两腰上的中线.求证:BD=CE.
证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵CD=AC,BE=AB,
∴CD=BE.
在△BEC和△CDB中,
∵BE=CD,∠ABC=∠ACB,BC=CB,
∴△BEC≌△CDB(SAS).
∴BD=CE.
三、运用新知，深化理解
1.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分别计算∠1,∠2的度数,并说明图中有哪些等腰三角形.
2.如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠,重合部分是一个等腰三角形吗 为什么
3.如图,AC和BD相交于点O,AB∥DC,OA=OB.求证:OC=OD.
4.如图,在△ABD中,C是BD上的一点,且AC⊥BD,AC=BC=CD.(1)求证:△ABD是等腰三角形.(2)求∠BAD的度数.
【教学说明】上述习题要引导学生边做题边总结,熟悉等腰三角形的性质与判定常与哪些知识在一起应用,等腰三角形性质与判定间有什么区别与联系,并鼓励学生探究一题多解的方法.
【答案】
1.∠1=72°,∠2=36°;等腰三角形有:△ABC、△ABD、△BCD
2.是等腰三角形,可证得∠1=∠2
3.∵OA=OB,∴∠A=∠B.又∵AB∥DC,∴∠A=∠C,∠B=∠D.∴∠C=∠D,∴OC=OD(等角对等边).
4.(1)证明:∵AC⊥BD,∴∠ACB=∠ACD=90°.又∵AC=AC,BC=CD,∴△ACB≌△ACD(SAS).∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).∴△ABD是等腰三角形.(2)由(1)可知AB=AD,∴∠B=∠D.又∵AC=BC,∴∠B=∠BAC,∴AC=CD.∴∠D=∠DAC.在△ABD中,∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°.∴2(∠BAC+∠DAC)=180°,∴∠BAC+∠DAC=90°,即∠BAD=90°.
四、师生互动，课堂小结
利用问题指导学生总结:
问题1 你学会了几种判定等腰三角形的方法
问题2 等腰三角形性质与判定有哪些联系和区别
【总结】本节课主要探究了等腰三角形判定定理,并对判定定理的简单应用有了一定的认识,在利用定理的过程中体会定理的重要性.在直观的探索和抽象的证明中养成一定的逻辑推理能力.
1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
利用等腰三角形的性质定理与判定定理的互逆关系来学习等腰三角形的判定是很重要、很常见的研究问题的方法，本节之前线段垂直平分线的知识的学习及以后学习平行四边形等特殊四边形的知识时会反复用到这种方法.

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