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14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
1.使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系.
2.了解公因式概念和提公因式的方法.
3.会用提公因式法分解因式.
4.通过学习提取公因式法分解因式，把握公因式的找法和提取公因式的方法.
5.理解因式分解的最后结果，每个因式再也不能分解.
6.在探索提公因式分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归思想.
【教学重点】
用提公因式法分解因式.
【教学难点】
如何确定公因式和提公因式分解因式.
一、情境导入，初步认识
1.计算下列各题.
（1）x（x+1）=____；
（2）（x+1）（x-1）=___________；
（3）m（a+b+c）=______________.
2.对题1计算后的等式从右往左看，可看出每一个多项式都可转化为几个因式的积的形成.由此教师提出因式分解的定义.
【归纳总结】把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做多项式的因式分解（或叫分解因式）.因式分解与整式乘法是相反的变形.
例1下列因式分解过程是否正确？
解：（1）错误，缺项（2）因式分解的各项不能有分式，所以错误（3）错误，结果不是乘积形式（4）错误，括号内的因式各项中仍有公因式.
因式分解的定义要注意以下几个方面：
因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式，要与整式的乘法区分；因式分解的结果必须是几个整式的积的形式；因式分解与整式乘法互为逆运算.
3.由ma+mb+mc=m（a+b+c）可知，这是一个因式分解的过程，其中m是各项的公因式，另一个因式是ma+mb+mc除以m所得的商，这种分解因式的方法叫提公因式法.
寻找公因式的方法是：
（1）确定公因式：如果多项式各项系数为整数，公因式就是各项系数的最大公约数和各项的相同字母的最低次幂的积.能准确地找出公因式，是提取公因式法的关键.
（2）确定另一个因式：即原多项式除以公因式所得的商作为另一个因式，从而将原多项式写成公因式与这个因式的积.
例2（1）多项式3x2-6xy+3的公因式是__________.
（2）多项式4mn3-16m2-8m的公因式是__________.
（3）多项式x（b+c-a）-y（b+c-a）-（a-b-c）的公因式是_________.
（4）多项式2（x-3）+x（3-x）的公因式是__________.
【分析】先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式.（1）的公因式就是3，最后的一项中不含字母，所以公因式中不含字母；（2）的公因式的系数是4，16，8的最大公约数，字母部分是m；（3）的公因式是b+c-a；（4）的多项式可变形为2（x-3）-x（x-3），其公因式是x-3.
【教学说明】确定公因式一定要从系数，字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可以是一个单项式、多项式，互为相反数的因式可变形为公因式.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.
二、思考探究，获取新知
【分析】首项为负，一般要先提取负号，还要注意，提公因式后不要漏项.
【分析】（1）多项式各项的公因式是多项式时，要提取次数幂最低的.（2）提公因式时要“提净”、“分完”，提公因式后还能提公因式的要继续分解，最后结果，若有相同因式，要写成幂的形式.
例5
利用分解因式计算：
【分析】本题若按一般步骤进行计算比较麻烦且易出错，运用提公因式法就可简化其运算过程.
三、运用新知，深化理解
1.下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？说明理由.
2.分解因式.
【教学说明】上述题目由学生自由探究，对于学生出现的各类错误予以及时纠正，并加以解释.
【答案】1.因为（1）（2）的右边都不是积的形式，所以它不是因式分解；（4）的左边不是多项式而是一个单项式，（5）中的，都不是整式，所以（4）（5）也不是因式分解.只有（3）的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有（3）是因式分解.
2.（1）2a（a-2）；（2）2ab2（3ab+5c-2b）；（3）-2ab（a2b-3a+1）；（4）2（x+2）（x+1）.
四、师生互动，课堂小结
集体回忆因式分解的定义和提公因式分解因式的步骤.
1.布置作业：从教材“习题14.3”中选取部分题.
2.完成创优作业本课时的“课时作业”部分.
本课时教学应注意：
1.本节课是因式分解的第一节课，教师重点引导学生理解概念和提公因式法，不宜高要求.
2.可类比数的分解来认识因式分解.
3.强化学生对公因式概念的理解.

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