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2.4.2 圆的一般方程
教学设计
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第四节《圆的方程》。以下是本单元的课时安排：
第二章 直线和圆的方程
课时内容 2.4圆的方程 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
所在位置 教材第82页 教材第91页
新教材 内容 分析 圆是学生熟悉的基本平面图形，在初中阶段学习过圆的一些性质，现在在平面直角坐标系中研究院，根据确立圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题。圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用。 运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，并解决简单的问题，在教学过程中，应引导学生根据初中学习图形与几何的经验，类比用哪个直线的方程研究两条直线的位置关系，研究运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
核心素养培养 通过圆的标准方程、一般方程的求解，培养数学运算的核心素养；通过圆的一般方程的理解，培养数学抽象的核心素养。 通过直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，培养逻辑推理的核心素养；通过直线与圆的综合问题，提升数学运算的核心素养。
教学主线 圆的方程的应用
在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用。在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。
1.理解圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养.
2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化，培养数学运算的核心素养.
3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题，提升逻辑推理的核心素养.
重点： 掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程
难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题
（一）新知导入
《古朗月行》
唐·李白
小时不识月，呼作白玉盘。
又疑瑶台镜，飞在青云端。
月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示
（二）圆的一般方程
【思考1】　圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)展开可得到一个什么式子？
【提示】x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.
【思考2】把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程是不是就一定表示圆？
【提示】得到的方程为2＋2＝.当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，它表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
◆圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径为 .
【做一做1】 (教材P88练习2改编)若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是(　　)
A．k>1　　　　　　 B．k<1
C．k≥1 D．k≤1
解析：由题意得(－4)2＋22－4×5k>0，k<1.
答案：B
【做一做2】 (教材P88练习1改编)已知圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是(　　)
A．(2，－1)，3 B．(－2,1)，3
C．(－2，－1)，3 D．(2，－1)，9
解析：圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3.
答案：A
（三）典型例题
1.圆的一般方程的识别
例1.判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径．
(1)3x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋xy＋1＝0；
(3)x2＋y2＋x＋2y＋1＝0；
(4)x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.
【分析】利用圆的一般方程的特点解题．
【解析】(1)由于x2，y2的系数不相等，∴该二元二次方程表示的不是圆．
(2)由于该二次方程中含有xy项，∴该二元二次方程表示的不是圆．
(3)由于D2＋E2－4F＝1＋4－4＞0，∴该二元二次方程表示的是圆．
又x2＋y2＋x＋2y＋1＝2＋(y＋1)2－＝0，即＋(y＋1)2＝，
∴它表示以为圆心，以为半径的圆．
(4)法一：∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，
当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示圆，此时圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝|m－2|.
法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，当m＝2时，它表示一个点；
当m≠2时，原方程表示一个圆，其圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|.
【类题通法】 二元二次方程表示圆的判断方法
任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:
(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.
(2)将该方程配方为(x+)2+(y+)2=,根据圆的标准方程来判断.
【巩固练习1】已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求该圆半径的取值范围．
【解析】(1)方程化为[x－(m＋3)]2＋[y＋(1－4m2)]2＝－7m2＋6m＋1，
∴－7m2＋6m＋1＞0，－＜m＜1，
∴方程表示圆时m的取值范围为－＜m＜1.
(2)r＝
＝ ≤，
∴圆的半径r的取值范围为0＜r≤.
2.圆的方程的求法
例2.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程．
【分析】欲求圆的方程可先将圆的方程设出来，将条件代入求得．
【解析】设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得得
∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
【变式探究】　若本例改为：已知圆过A(2,2)，C(3，－1)，且圆关于直线y＝x对称，求圆的一般方程．
【解析】设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得得
∴所求的圆的方程为x2＋y2＋x＋y－12＝0.
【类题通法】用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D，E，F.
【巩固练习2】已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．
【解析】圆心C，因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，①
又r＝＝，所以D2＋E2＝20，②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，所以
所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
3.求轨迹方程
例3.已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC中点M的轨迹方程．
【分析】只需寻求动点与定点之间的关系，然后化简方程即可，不过要注意动点与定点间的约束条件．
【解析】(1)法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.
又kAC＝.kBC＝，且kAC·kBC＝－1，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．
法二：同法一得x≠3且x≠－1.
由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．
法三：设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝|AB|＝2.
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点),
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．
(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0) ，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，
由中点坐标公式得x＝(x≠3且x≠－1)，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，
将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1，
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．
【类题通法】求动点的轨迹方程的常用方法
1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;
2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.
【巩固练习3】已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
【解析】(1)设动点M的坐标为(x，y)，
∵A(2,0)，B(8,0)，|MA|＝|MB|，∴(x－2)2＋y2＝[(x－8)2＋y2]．化简得x2＋y2＝16，
即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
(2)设点N的坐标为(x，y)，
∵A(2,0)，N为线段AM的中点，∴点M的坐标为(2x－2,2y)．
又点M在圆x2＋y2＝16上，∴(2x－2)2＋4y2＝16，即(x－1)2＋y2＝4.
∴点N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．
（四）操作演练 素养提升
1.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　)
A．m<　　　　　　　 B．m<0
C．m> D．m≤
2.若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．－3
3.当点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1
4.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)
A．π B．4π
C．8π D．9π
答案：1.A 2.B 3.C 4.B
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第88页 练习 第1，2，3题
第88页 习题2.4 第1,2,3,4,6,7,8,9题

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