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2.5.2 圆与圆的位置关系
教学设计
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的第五节《直线与圆、圆与圆的位置关系》。以下是本单元的课时安排：
第二章 直线和圆的方程
课时内容 2.4圆的方程 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系
所在位置 教材第82页 教材第91页
新教材 内容 分析 圆是学生熟悉的基本平面图形，在初中阶段学习过圆的一些性质，现在在平面直角坐标系中研究圆，根据确立圆的几何要素建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标法解决一些与圆有关的简单问题。圆的方程的知识是平面解析几何的基础知识，圆的方程具有广泛的应用。 运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，并解决简单的问题，在教学过程中，应引导学生根据初中学习图形与几何的经验，类比用哪个直线的方程研究两条直线的位置关系，研究运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
核心素养培养 通过圆的标准方程、一般方程的求解，培养数学运算的核心素养；通过圆的一般方程的理解，培养数学抽象的核心素养。 通过直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，培养逻辑推理的核心素养；通过直线与圆的综合问题，提升数学运算的核心素养。
教学主线 圆的方程的应用
上一节学习了圆的方程，本节内容是在上一节内容的基础上，研究直线与圆。圆与圆的位置关系及其应用，在这一过程中，进一步体会数形结合的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。
1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法，培养数学抽象的核心素养；
2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系，培养数学运算的核心素养；
3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题，培养逻辑推理的核心素养。
重点：圆与圆的位置关系及判定方法
难点：综合应用圆与圆的位置关系解决问题
（一）新知导入
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日。日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的
前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。
（二）圆与圆的位置关系
◆圆与圆的位置关系的判定
(1)几何法：
圆O1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r(r2＞0)，
两圆的圆心距d＝|O1O2|＝，
则有
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2 的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
(2)代数法：圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1＞0)，圆O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2＞0)，两圆的方程联立得方程组，则有
方程组解的情况 2组 1组 0组
两圆的公共点 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
【做一做1】 (教材P96例5改编)圆x2＋y2－1＝0和圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　)
A．内切　　　　　 B．相交
C．外切 D．外离
解析：两个圆的半径分别是1和3，圆心距是，因为2<<4，所以两圆相交．
答案：B
【做一做2】两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为_________．
答案：0或±2
（三）典型例题
1.圆与圆的位置关系的判定
例1.已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，
C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1、C2(1)相切；(2)相交；(3)相离．
[分析]　先将圆的方程配方化成标准方程，再求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a的值．
[解析]　对圆C1、C2的方程，经配方后可得：
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a,1)，r1＝4，圆心C2(2a,1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a，
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5即a＝5时，两圆外切，
当|C1C2|＝r1－r2＝3即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5即3(3)当|C1C2|>5即a>5时，两圆外离，
当|C1C2|<3即0【类题通法】判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法:利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系;
(2)代数法:把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题.
【巩固练习1】若两圆x2＋y2＝a与x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则a的值为________．
解析：∵x2＋y2＝a表示一个圆，∴a>0，
两圆的圆心、半径长分别为(0,0)，与(－3,4)，6.
由于两圆内切，则＝|－6|，解得a＝121或a＝1.
答案：1或121
2.两圆相交问题
例2.已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
[分析]　(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，再根据半径、弦心距、弦长的关系求出弦长．
(2)可求出两圆的交点坐标，结合圆心在直线x－y－4＝0上求出圆心坐标与半径，也可利用圆系方程求解．
[解析]　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组的解．
①－②，得x－y＋4＝0.
∵A，B两点坐标都满足此方程，
∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
又圆C1的圆心(－3,0)，r＝，
C1到直线AB的距离为d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝5，
即两圆的公共弦长为5.
(2)法一：解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
则有＝，
解得a＝，故圆心为，
半径为 ＝.
故圆的方程为2＋2＝，
即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
法二： ∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，
故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，
其圆心为，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7.
故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
【类题通法】相交弦及圆系方程问题的解决
1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.
2.求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.
3.已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).
【巩固练习2】若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为y＝，
如图，由已知|AC|＝，|OA|＝2，
∴|OC|＝＝1，∴a＝1.
答案：1
3.两圆相切问题
例3.求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[分析]　要求圆的方程，需求圆心及半径，利用直线与圆相切、圆与圆相切，建立a，b，r的方程求解．
[解析]　圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1,0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题意可知解得
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
【类题通法】1.圆与圆的位置关系主要是通过圆心距与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系来判断．
2.直线与圆相切，即圆心到直线的距离等于半径，另结合圆的性质，圆心与切点的连接必与切线垂直，充分利用圆的有关几何性质解题可以化繁为简，提高运算效率.
【巩固练习3】与圆O：x2＋y2＝25外切于点P(4,3)，且半径为1的圆的方程是________．
解析：设所求圆的圆心为C(m，n)，则O，P，C三点共线，且|OC|＝6，所以m＝×6＝，n＝×6＝，所以圆的方程是2＋2＝1.
答案：2＋2＝1
（四）操作演练 素养提升
1.圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系是(　　)
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
解析：圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆x2＋y2＋4y＝0的圆心为(0，－2)，半径为2，其圆心距为.
∵2－1<<2＋1，∴两圆相交．
答案：C
2.已知圆A、圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为(　　)
A．6 cm或14 cm　　　　　　 B．10 cm
C．14 cm D．无解
解析：∵圆A与圆B相切包括内切与外切，设圆B的半径为r cm，
∴10＝4＋r或10＝r－4，即r＝6或14.
答案：A
3.两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4外切，则正实数r的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：显然两圆心的距离d＝5，∵两圆外切，∴r＋2＝5，∴r＝3.
答案：C
4.已知C，D是圆A：(x＋1)2＋y2＝1与圆B：x2＋(y－2)2＝4的公共点，则△BCD的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：C，D是圆A：(x＋1)2＋y2＝1与圆B：x2＋(y－2)2＝4的公共点，
可得CD的方程为2x＋4y＝0，即x＋2y＝0，
圆B：x2＋(y－2)2＝4的圆心为B(0,2)，半径为2，
B到CD的距离为＝，
∴|CD|＝2＝.
△BCD的面积为××＝.
答案：B
答案：1.C 2.A 3.C 4.B
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第98页 练习 第1，2题
第98页 习题2.5 第7，8,9题

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