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第二章 直线和圆的方程
章末综合 教学设计
一、知识网络构建
二、典型例题
1.求直线的方程
【例1】已知正方形中心为点M(－1,0)，一条边所在直线的方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．
[思路点拨]　已知正方形的中心坐标和一条边所在直线的方程，由正方形的性质——中心到各边的距离相等，用待定系数法列方程求解．
[解析]　正方形中心到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝
设与直线x＋3y－5＝0平行的直线方程为x＋3y＋C1＝0.
由正方形的性质，得＝，
解得C1＝－5(舍去)或C1＝7.
所以与直线x＋3y－5＝0相对的边所在的直线方程为x＋3y＋7＝0.
设与直线x＋3y－5＝0垂直的边所在的直线方程为3x－y＋C2＝0.由题意，得
＝，
解得C2＝9或C2＝－3.
所以另两边所在直线的方程为3x－y＋9＝0和3x－y－3＝0.
【类题通法】具有某种共同属性的一类直线的集合，我们称之为直线系，这一属性可通过直线系方程体现出来，它们的变化存在于参数之中，常见的直线系有：
(1)过已知点P(x0，y0)的直线系y－y0＝k(x－x0)(k为参数)．
(2)斜率为k的平行直线系方程y＝kx＋b(b为参数)．
(3)与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，λ≠C)．
(4)与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)．
(5)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：l1：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)(但不包含直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
【巩固训练1】求通过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且距原点为1的直线方程．
[解析]　法一：过两条直线交点的直线系方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，
即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0.①
∵原点到直线的距离为1，
即＝1，解得λ2＝9，
∴λ＝±3.
代入方程①中，得所求直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0.
法二：由方程组解得两条直线的交点为A(1,3)．
当斜率存在时，设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0.
∵原点到直线的距离为1，即＝1，
∴|3－k|＝，∴k＝.
∴直线方程为y－3＝(x－1)，即4x－3y＋5＝0.
当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1也符合题意．
故所求直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0.
2.求圆的方程
【例2】已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4，求圆的方程．
[思路点拨]　利用待定系数法设出圆的标准方程，根据条件列式求解．
[解析]　法一：设圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝10.
因为圆心在直线y＝2x上，所以b＝2a.①
由方程组
得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0，
所以x1＋x2＝a＋b，x1·x2＝.
由弦长公式得·＝4，
化简得(a－b)2＝4.②
解①②组成的方程组，
得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝10，
则圆心为(a，b)，半径r＝，
圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离d＝.
由半弦长、弦心距、半径组成的直角三角形得
d2＋2＝r2，即＋8＝10，
所以(a－b)2＝4.
又因为b＝2a，所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
【类题通法】利用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：
第一步：选择圆的方程的某一形式；
第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；
第三步：解出a，b，r(或D，E，F)；
第四步：代入圆的方程．
注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切时，连心线过切点等．
【巩固训练2】已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－)，求圆C的方程．
[解析]　设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
圆心C(a，b)与Q(3，－)的连线垂直于直线x＋y＝0，且斜率为.
由题意得
解得或
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
3.直线与圆、圆与圆的位置关系
【例3】已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
[思路点拨]　(1)分斜率存在与不存在两种情况讨论．
(2)构造直角三角形求解．
[解析]　(1)圆心C(1,2)，半径r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.
由题意知＝2，解得k＝.
∴圆的切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，
∴2＋2＝4，
解得a＝－.
【类题通法】1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．
2．求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
【巩固训练3】已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切　　　　　 B．相交
C．外切 D．相离
解析：圆M的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2，故其圆心为M(0，a)，半径R＝a，
所以圆心到直线x＋y＝0的距离d＝＝a，
所以直线x＋y＝0被圆M所截弦长为2＝2＝a，
由题意可得a＝2，故a＝2.
圆N的圆心N(1,1)，半径r＝1.
而|MN|＝＝，
显然R－r＜|MN|＜R＋r，所以两圆相交．
答案：B
4.最值与范围问题
【例4】已知实数x，y满足y＝，则代数式的取值范围为________．
解析：　(1)如图所示y＝化为x2＋y2＝3(y≥0)，表示的图形为半圆弧，的几何意义为定点A(－3，－1)与半圆弧上任意一点M(x，y)的连线的斜率．
利用数形结合法可知kAB≤≤kAC.
又B(，0)，kAB＝＝，设直线AC的方程为y＋1＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k－1＝0.
∵直线AC与半圆相切，
∴＝，即3k2－3k－1＝0，解得k＝或(舍去)．
∴kAC＝.∴≤≤.
答案：　
【类题通法】“数形结合”是把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们一种普遍思维习惯在数学上的具体表现．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”．形如u＝的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题；形如t＝ax＋by的最值问题，可借助图形分析转化为动直线截距的最值问题；形如z＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可借助于图形分析转化为动点到定点距离平方的最值问题．
【巩固训练4】当曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是(　　)
A.　　　　 B.
C. D.
解析：曲线y＝1＋是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2,4)的直线．
设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为y＝k0(x－2)＋4，圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即＝2，k0＝.
直线PA的斜率为k1＝.所以答案：C　
三．操作演练 素养提升
1.圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线x＋ay－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A．± B．±
C．± D．±
解析：∵圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，圆心为(1,4)，
∴由圆心到直线x＋ay－1＝0的距离为1可知＝1，解得a＝±.
答案：A
2.已知点A(3,3)，B(－1,1)是圆C的一条直径的两个端点，又点M在圆C上运动，点N(4，－2)，则线段MN的中点P的轨迹方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5 B.2＋y2＝
C.2＋y2＝ D．(x－2)2＋(y＋1)2＝5
解析：∵A、B是圆C的直径的两个端点，∴圆心C(1,2)，半径r＝，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
设P(x，y)，M(x0，y0)．∵线段MN的中点为P，∴
∵M在圆C上运动，∴(2x－5)2＋(2y)2＝5，即2＋y2＝.
故线段MN的中点P的轨迹方程为2＋y2＝.
答案：B
3.过点(2,0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)
A. B．－
C．± D．－
解析：曲线y＝的图象如图所示：
若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k<0，设l：y＝k(x－2)，则点O到l的距离d＝ .
又S△AOB＝|AB|·d＝×2·d＝，当且仅当d2＝1时，S△AOB取得最大值．所以＝1，∴k2＝，∴k＝－ .故选B.
答案：B
4.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交x轴于M，N两点，则|MN|＝__________.
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A，B，C代入，
得解得
则圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令y＝0，得x2－2x－20＝0，设M(x1,0)，N(x2,0)，
则x1，x2是方程x2－2x－20＝0的两根，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－20，
故|MN|＝| x1－x2|＝＝＝2.
答案：2
答案：1.A 2.B 3. B 4.2
四、课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
六、作业布置
完成教材：
第102页 复习参考题2 第1，2，3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20题

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