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2.2 基本不等式 教学设计
一、【单元目标】
【知识与能力目标】
1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2、掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题
【过程与方法目标】
通过实例探究抽象基本不等式；
【情感态度价值观目标】
通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．
四、【教学设计思路/过程】
课时安排：约2课时
教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；
教学难点：1、基本不等式等号成立条件；2、利用基本不等式求最大值、最小值．
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
环节一、情景引入，温故知新
情景：我们知道，通过研究特殊的多项式乘法，可以得到乘法公式，而乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，在研究不等式的性质后，是否也有一些特殊的不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢 今天我们就来研究这个问题．
问题1：在不等式的学习中，我们从赵爽弦图中抽象出了重要不等式．特别地，我们限制，，并用分别代替，可得，你能证明这一不等式吗
【破解方法】学生能从探索过程获知，基本不等式是重要不等式的特殊情况，建立新旧知识的联系，为不等式的学习提供可参考的对象．
环节二、抽象概念，内涵辨析
1．基本不等式
问题2：你能直接利用不等式的性质证明这一式子吗
【破解方法】学生先独立思考，由于不等式的性质比较多，到底由哪个性质出发，利用哪些性质进行证明，学生会一头雾水．教师再让学生自学教科书第44页，然后通过问题引导学生思考．
从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：
要证 （1）
只要证 （2）
要证（2），只要证 ≥0 （3）
要证（3），只要证 （ - ）2≥0 （4）
显然，（4）是成立的．当且仅当a=b时，（4）中的等号成立．
【归纳新知】
对公式的理解．
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．
2．基本不等式的几何意义
问题3：的几何意义是什么？
【破解方法】如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、．
易证，那么，即．
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立．
3．用基本不等式求最大（小）值
问题4：怎样利用基本不等式求最大（小）值？
【破解方法】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．
①一正：函数的解析式中，各项均为正数；
②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．
环节三：例题练习，巩固理解
题型一：对基本不等式的理解及简单应用
【例1】下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；
对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；
对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；
对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合．
故选：C．
【对点训练1】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，可得圆的半径为，
又由，
在中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D．
题型二：利用基本不等式比较大小
【例2】若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）．则不正确的不等式的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为，所以，成立，所以（1）不正确，（4）不正确；
因为，所以（3）正确；
都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确．
故选：C
【对点训练2】若，，，则，，2ab，中最大的一个是 ．
【答案】/
【解析】，，，则，，，
综上所述：最大的一个是．
故答案为：
题型三：利用基本不等式证明不等式
【例3】已知是实数．
（1）求证：，并指出等号成立的条件；
（2）若，求的最小值．
【解析】（1）证明：因为
，
所以，
当且仅当，时，不等式中等号成立．
（2），
当且仅当，即或时，不等式中等号成立．
所以的最小值为4．
【对点训练3】已知，求证．
【解析】∵，①
，②
，③
①+②+③得；．
∴（当且仅当等号成立）．
题型四：利用基本不等式求最值
【例4】已知、都是正数，求证：
（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值．
【解析】因为、都是正数，所以．
（1）当积等于定值时，，所以，
当且仅当时，上式等号成立．于是，当时，和有最小值；
（2）当和等于定值时，，所以，
当且仅当时，上式等号成立．于是，当时，积有最大值．
【对点训练4】某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深为．如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，那么怎样设计水池能使总造价最低（设蓄水池池底的相邻两边边长分别为，）？最低总造价是多少？
【解析】要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深为
设蓄水池池底的相邻两边边长分别为，，
由体积为可知：
，
设总造价为．
又，
，
，
当且仅当，时，上式成立，此时．
将蓄水池的池底设计成边长为40米的正方形时总造价最低，最低总造价是元．
环节四：小结提升，形成结构
问题5：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：
（1）你能归纳一下基本不等式的研究过程吗
（2）你对基本不等式有哪些认识 特别是，其中体现了哪些数学思想方法
（3）处理两类最值问题（积定求和的最小值，和定求积的最大值），需要注意哪些问题
【破解方法】（1）我们遵循“背景一概念一性质一应用”的研究路径，将重要不等式变形获得基本不等式，并对其正确性进行推理论证，再对其结构特点和几何意义进行探究，最后在应用中获得基本不等式模型处理问题的方法．
（2）从代数角度看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的大小关系，从几何角度看，基本不等式反映了圆中直径与弦长的大小关系．在推导过程中，灵活运用分析法和综合法；在几何解释中，通过构造与发现提升直观想象素养．
（3）在处理两类最值时，要注意是否符合“一正、二定、三相等”这一结构特点，以模型的意识去看待和应用基本不等式．
六、【教学成果自我检测】
环节五：目标检测，检验效果
1．（2023·湖北鄂州·高一校联考期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】能推出，故必要性成立，
当时，取，则，不能推出，故充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：C．
2．（2023·广西钦州·高一校考开学考试）有一块橡皮泥的体积为2，起初做成一个长，宽，高依次为，，1的长方体．现要将它的长增加1，宽增加2，做成一个新的长方体，体积保持不变，则新长方体高的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，设新长方体高为，则，
得到，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为．
故选：C．
3．（2023·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考开学考试）已知，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】由知，，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为6．
故选：A
4．（2023·全国·高一专题练习）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知，利用基本不等式得出，
因为，则，，
所以，，
∴．
故选：B
5．（2023·天津武清·高一校考阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】B
【解析】因为，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9．
故选：B．
6．（多选题）（2023·广东佛山·高一北滘中学校考阶段练习）下列函数的最小值为的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，，当且仅当，即时等号成立，，故A正确；
对于B，取，则，故B不正确；
对于C，，当且仅当，即时，等号成立，故不是4，故C错误．
对于D，因为，所以，
故有基本不等式可得，
当且仅当，即时等号成立，故D正确．
故选：AD
【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容．
环节六：布置作业，应用迁移
作业1：教科书第48页习题2．2第1、2、4、5题．
【设计意图】掌握集合的表示方法，巩固本节课的知识点．
七、【教学反思】

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