资源简介

3.3 函数的单调性
教学目标
（1）通过实例，理解函数的单调性、单调区间的概念．
（2）能借助函数的图像研究函数的单调性．
（3）能简单应用定义证明函数的单调性.
教学重难点
重点：对增函数、减函数定义的理解与简单应用．
难点：应用定义证明函数的单调性．
3．教学基本流程
4．教学情境设计
问 题 问题设计意图 师生活动
（1）对于教科书中的实例，你能从函数的角度出发谈一谈你的认识？（引导学生从函数的三要素认识该图像中所蕴含的函数知识） 结合学生已有知识经验，启发学生思考，激发学生学习兴趣， 师：引导学生回忆，对学生活动进行评价． 生：回忆，举例，交流． 师：实例中的图像是否是函数？ 师：该函数的自变量（定义域）、函数值（值域）分别是什么？
（2）气象站所在地区那一天从凌晨0点到凌晨4点，气温逐渐降低，用函数语言可以怎么描述？ 为引入新概念“增函数”、“减函数”作铺垫 生：思考问题，发表自己的看法 师：引导、归纳总结：在区间上，函数值（气温）随着时间的增大而减小.
（3）给出增函数、减函数的定义（注意区别：在某个区间上的增函数与在定义域上的增函数），单调区间、单调性的概念
（4）从凌晨0点到下午14点，函数是增函数吗？如何从图像观察一个函数是增函数还是减函数？ 引导学生明确定义中“任意”的意义，增强学生对概念的理解和抽象、概括能力． 生：思考问题，发表自己的看法
（5）例1：画出的图像，它是增函数还是减函数？并用定义证明你的结论. 引导学生初步学会应用定义来判断、证明函数的单调性. 师：定义中应用两个不等关系来刻画自变量、函数值的变化，其中自变量的关系我们可以设定，只要证明函数值的大小即可.如何来判断、证明函数值的大小呢？——作差比较法
（6）你能由例1归纳一次函数的单调性吗？ 进一步理解概念，培养归纳、概括能力. 生：归纳总结：，是增函数；，是减函数.
问 题 问题设计意图 师生活动
（7）练习：二次函数的单调递增区间是_______;单调递减区间是________. 引导学生应用图像来判断单调性（由形到数） 生：独立思考，解决问题 师：你能归纳一下二次函数的单调性和什么有关系？
（8）例2：讨论反比例函数分别在区间、上的单调性. 进一步学习定义在判断单调性中的应用，进一步理解概念 生：独立思考，解决问题 师：先让学生讲述解答情况，再作出评价，给出正确解答． 师：你能够借助单调性，描点作出其图像吗？（由数到形） 师：能够说反比例函数是减函数吗？
（9）小结：①增函数、减函数的图像特征 ②增函数、减函数的定义③应用定义证明单调性 归纳整理本节课所学知识， 师：引导学生思考，概括． 生：思考，整理，表述概括的结果
（11）课后作业 解决下列问题：习题A组1、2；B组1、3
3.3 函数的单调性作业答案
A组
函数的单调递增区间为：；单调递减区间为：.
（1）设是函数定义域R上任意两个实数，且，则
∵ ∴
∴，即
从而函数在定义域R上是减函数.
（2）设是区间上任意两个实数，且，则
∵ ∴
又 ∴
∴
∴，即
从而函数在区间上是增函数.
设是区间上任意两个实数，且，则
∵ ∴
又 ∴ ∴
∴，即
从而函数在区间上是减函数.
同理可得，函数在区间上是减函数.
B组
函数的定义域为，设是区间上任意两个实数，且，则
∵ ∴
又 ∴
∴
∴，即
从而函数在区间上是增函数.
设是任意两个正实数，且，则
∵ ∴
又是两个正实数 ∴ 而∴
∴，即
从而在上是减函数.
即对于一定量的气体，压强随体积的减小而增大.
易知，函数在区间上单调递增
∵ ∴

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