资源简介

3.2.2双曲线的简单几何性质（第2课时）
教学设计
课时教学内容
新教学大纲对“直线与圆锥曲线的位置关系”这部分教材的要求是：掌握其简单应用。主要考查：直线与圆锥曲线公共点个数问题，相交时的弦长，弦中点或相关轨迹问题，三角形面积问题，对称性问题，存在性问题,与向量综合等问题，由于本部分内容一直是高考的热点，这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，所以应给以足够的重视，而用坐标法研究几何问题，是数学中的一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大。为此，从解析几何的本质出发，用代数的方法来研究，体现分类讨论的数学思想，又体现数形结合的数学思想，是一节很重要但又有一定深度的课。
教学目标
1.根据双曲线的方程研究双曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，培养数学抽象的核心素养．
2．了解离心率对双曲线开阔程度的影响，培养数学运算的核心素养．
3. 根据几何条件求出双曲线的方程，培养数学运算的核心素养．
教学重点、难点
1.重点：理解直线与双曲线的位置关系.
2.难点：会求解有关弦长问题．
教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题．
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图3.2-10（1））．它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25 m，高为55 m．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m)．
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10(2)所示的直角坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径，都平行于轴，且，．
设双曲线的方程为，点的坐标为，则点的坐标为，
因为直径是实轴，所以，又，两点都在双曲线上，所以
由方程②得（负值舍去）．代入方程①得
，
化简得
③
解方程③得
（负值舍去）
因此所求双曲线得方程为．
环节二 观察分析，感知概念
例5动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹．
解：设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是点的集合
．
由此得
．
将上式两边平方，并化简得
．
即
．
所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为6，虚轴长为的双曲线（图3.2-11）．
环节三 抽象概括，形成概念
思考
将例5与椭圆一节中得例6比较，你有什么发现？
若动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是，
则当时，动点的轨迹是椭圆，当时，动点的轨迹是双曲线．这就是椭圆和双曲线的第二定义．
环节四 辨析理解 深化概念（弦长问题）
例6如图3.2-12，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求．
解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为，，所以直线的方程为
①
由，消去，得
．
解方程得，．
将，的值分别代入①得，，，
于是，，两点的坐标分别为，．
所以．
规律总结　
双曲线中有关弦长问题的解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围．
求弦长的两种方法
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
(2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝ |y1－y2|.
环节五 概念应用，巩固内化
例7 求证：双曲线的焦点到渐近线的距离为．
证明：双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离
．
环节六 归纳总结,反思提升
问题7请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
(1)双曲线的第二定义．
(2)判断直线与双曲线的位置关系．
(3)弦长公式及中点弦问题．
2．方法归纳：定义法、数形结合．
3．常见误区：
判断直线与双曲线交点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数讨论．代数计算中的运算失误．
【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第127页 习题3.2 第3,4,8,9,13题
练习（第126页）
1．已知，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们得斜率之积是，求点的轨迹方程，并判断轨迹的形状．
1．解析：设，因为，，
所以，整理得，
故点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点．
2．求下列直线和双曲线的交点坐标：
（1），； （2），．
2．解析：（1）由，消去y，得：，解得：或，
由解得，；由解得，；所以交点坐标为：，；
（2）由，消去y，得：，解得：．
求得，；所以交点坐标为．
3．直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为，求离心率
3．解析：联立，得，设，，
则，解得．所以，离心率．
习题3.2（第127页）
1．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点得距离等于 ．
1．【答案】17
解析：双曲线可化为，，
设双曲线的两个焦点分别为，，不妨设，
由定义知|，所以，所以或(舍去)．
2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在轴上，，经过点；
（2）经过点，两点．
2．解析：（1）因为，且双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，
因此，双曲线的标准方程为；
（2）设双曲线的方程为，
将点、的坐标代入双曲线方程可得，解得，
因此，双曲线的标准方程为．
3．已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程
（1） （2）．
3．解析：（1）将化为标准方程可得，
由方程可得，，解得，，所以渐近线方程为，
又，解得，即焦点坐标为，，离心率；
（2）将化为标准方程可得，
由方程可得，，解得，，所以渐近线方程为，
又，解得，即焦点坐标为，，离心率．
4．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在轴上，实轴长是10，虚轴长是8；
（2）焦点在轴上，焦距是10，虚轴长是8．
（3）离心率，经过点．
4．（1）根据题意，所求双曲线的实轴长10，虚轴长8，可得，，则有，，
又因为双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为：；
（2）根据题意，双曲线的焦距是10，虚轴长为8，可得，，则，，
所以，又因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为：；
（3）根据题意，双曲线的离心率，即，则有，
所以，
所以该双曲线为等轴双曲线，设其方程为，
又因为双曲线经过点，则有，则，所以双曲线的标准方程为：．
5．如图，圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动是，点得轨迹是什么？为什么？
5．解析：连接QA，如图所示：
因为为的垂直平分线，所以，所以为定值，
又因为点A在圆外，所以，
根据双曲线定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为实轴长的双曲线．
6．求经过点并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．
6．解析：设所求的等轴双曲线的方程为：，
将代入得：，即，
所以等轴双曲线的标准方程：．
7．，为何值时，方程表示下列曲线：
（1）圆（2）椭圆（3）双曲线．
7．解析：（1）若方程表示圆，则，所以当时，方程为圆；
（2）若方程表示椭圆，则，，且，
所以当，，且时，方程为椭圆；
（3）若方程表示双曲线，则，所以当时，方程为双曲线．
8．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程．
8．解析：依题意，双曲线的焦点坐标是，，故双曲线方程可设为，
又双曲线的离心率，，解得，，故双曲线的方程为．
9．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程．
9．以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则，，
设爆炸点为，则，
根据双曲线的定义可得，在双曲线上，设双曲线的方程为，
则，所以，，所以，
所以点的轨迹方程为：．
10．设动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
10．设动点，设d为点M到直线l的距离，由题意得，即，
左右同时平方，化简可得，
所以，令，
所以，即，
所以动点M的轨迹方程为，为焦点在x轴，实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线．
11．是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，若四边形（为原点）的面积为3，求动点的轨迹方程．
11．解析：设，根据题意可知点在和相交的右侧区域，
所以点到直线的距离，到直线的距离，，即．
所以动点M的轨迹方程：．
补充知识：双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积为定值．
证明：设是双曲线上任意一点，双曲线的两条渐近线方程为和．
点到直线的距离，
点到直线的距离，
，
又在双曲线上，所以，即，
，即点到两渐近线的距离之积为定值．
12．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围．
12．解析：设椭圆和双曲线的焦半径分别为，，由题意得双曲线的渐近线方程为，
所以，则，
所以，．
拓广探索
13．已知双曲线，过点的直线与双曲线相交于两点，能否是的中点？为什么？
13．解析：当直线垂直x轴时，因为过点，所以直线方程为，
又双曲线的右顶点为，在直线上，所以直线与双曲线只有一个交点，不满足题意；
当直线不垂直x轴时，斜率存在，设，，且，
因为A、B在双曲线上，所以，两式相减可得，
所以，
若点为线段AB的中点，则，即，代入上式，
所以，则直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即，
将直线l与双曲线联立，可得，
，故方程无解，所以不存在这样的直线l，
综上，点P不能是线段AB的中点．
补充知识：①若直线且与圆交于，两点，点为的中点，则（即，垂径定理）；
②若直线且与椭圆交于，两点，点为的中点，则；
③若直线且与双曲线交于，两点，点为的中点，则．
证明：②设，，且，，则，，
，
两式相减，得，
，
又，，所以．
③设，，且，，则，，
，
两式相减，得，
，
又，，所以．
④若直线与圆交于，两点，过，两点作圆的切线，，则，设其斜率为，则．
推论：过圆上一点作圆的切线，则切线方程为．
⑤若直线与椭圆交于，两点，过，两点作椭圆的切线，，则，设其斜率为，则．
推论：过椭圆上一点作椭圆的切线，则切线方程为．
⑥若直线与双曲线交于，两点，过，两点作双曲线的切线，，则，设其斜率为，则．
推论：过双曲线上一点作双曲线的切线，则切线方程为．
⑦若直线与圆交于，两点，点为圆上任意一点，，斜率存在，则．
⑧若直线与椭圆交于，两点，点为椭圆上任意一点，，斜率存在，则．
⑨若直线与双曲线交于，两点，点为双曲线上任意一点，，斜率存在，则．
以上结论可以概况为：圆中的垂直关系（如半径与切线垂直，垂径定理，直径所对的圆周角是直角）中的，在椭圆和双曲线中变为．
14．已知双曲线与直线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点，当运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹时什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应结论？
14．解析：联立方程，可得，
因为有唯一公共点且，则，
整理得，可解得点坐标为，即，其中，
于是，过点M且与l垂直的直线为，
可得，即，
则，即，其中，
所以点的轨迹方程是，轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点），
如果将此题推广到一般双曲线，直线，其它条件不变，可得点的轨迹方程是，轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为的双曲线（去掉两个顶点）．

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