资源简介

3.2.1双曲线的标准方程 教案 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
教材版本 人教A版
年 级 高二 学 科 数学
课 题 双曲线的标准方程
教学目标 1、理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、学会用双曲线的定义解决实际问题。
2、理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。
教学理念
以“自主、探究、合作”的方式，激发学生自主探究的学习方式，培养学生对数学的学习兴趣。 在教学中引导学生进行自主思考，在例题中感受每种题型下，公式运用的不同方法，通过对不同题型的练习，将课堂变得更加生动有趣，激发学生兴趣，引导学生讨论，分析。
教法 创设情景、引导学生自主探究
学法 独立思考、合作讨论自主感悟
教学重点、难点
重点 理解双曲线概念的由来并学会解决实际问题
难点 掌握并推导出双曲线的标准方程
一、自主 感悟 标题 内容 设计意图
课前导入 老师：同学们大家好，我们你们的数学老师。今天我们主要的学习内容就是有关双曲线标准方程的知识点。在前面，我们已经学习了有关椭圆的知识点，了解出了椭圆的定义并推导出了椭圆的标准方程。那么今天我们就通过类比研究椭圆的标准方程的过程和方法，进一步研究双曲线的标准方程。 通过师生的正常问候，渲染课堂气氛，以及把已学知识与新知建立联系，温故知新。并引出本节新课内容。
新知探究问题1 老师：首先，我们先复习一下椭圆的定义。在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数2a ( 2a>|F1F2|>0)的点的轨迹我们称之为“椭圆”，即：|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)（出示椭圆方程的图像）。那同学们有没有思考过，假如在平面内与两定点F1，F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？我们用同样的方法来试着探究一下，先找出一条拉链，拉开一部分，在拉开的两边上各选择一点，固定在板上的两点F1，F2，接着把笔尖放在M点处，随着拉链的逐渐拉开比拢，我们就画出了一条曲线（出示图片） 根据图片我们可以很容易得出：|MF1|-|MF2|=|F2F1|=2a，那我们接着通过同样的方法在左边画一条曲线，同样我们可以得出 |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a，那么由前两个式子可以推导出 | |MF1|-|MF2| | = 2a ，那么我们把上面两条合起来的图像就叫做双曲线（出示图片）。 段炼学生推理能力, 培养学生数形结合能力。同时，以实践操作的方式带领学生理解双曲线定义的由来，让学生学这着自主思考并推导出定义。
二、合作完善 新知探究问题2 老师：根据前面对双曲线的推导及椭圆定义，同学们能给双曲线下定义吗？ 老师：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线（出示图片）.类比椭圆，将两个定点F1、F2两点叫做双曲线的焦点、|F1F2|=2c叫做双曲线的焦距。我们知道||MF1| - |MF2||=常数（小于|F1F2|），也就是2a<2c且2a是大于0的。我们再观察双曲线的图形，老师想请同学们再思考一个问题，若2a=2c,则轨迹是什么？若2a>2c,则轨迹是什么呢？若2a=0,则轨迹又是什么呢？我们动手画一画就很容易看出，当2a=2c时，所表示的是两条射线；当2a>2c时,很容易得出它是不表示任何轨迹的；而当2a=0时，此时就是线段F1F2的垂直平分线。 通过对前一个的推导，接着让学生类比推导椭圆标准方程时所同的方法，让学生自主思考两者的关系和不同点。
三、引导深入 新知探究问题3 了解完双曲线的定义之后，我们通过类比推导椭圆的标准方程的方法来推导出双曲线的标准方程。跟研究椭圆标准方程一样，第一个步骤就是建立直角坐标系：我们以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系。第二步我们设点坐标：设M（x , y）,则F1(－c,0),F2 ( c,0）；接着第三步我们根据定义将式子列出来：|MF1|－|MF2|=±2a，即： -=±2a；第四步我们就要将其化简为最终式子： 由：得： 再接着化简得： 两边平方得： 又因为： 最后得出： 此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程 老师：类比椭圆方程，同学们思考一下，若建系时,焦点在y轴上呢 没错，我们用同样的方法可以推导出其标准方程为：（出示图像）。不管是在x轴函数y轴上两种情况都满足（a>0,b>0）。那同学们可能还会有疑问，该如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？这里有一个方法就是看标准方程前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上． 通过先对双曲线定义的推导进行推导，再通过定义对双曲线的标准方程进行推导，加深学生对该知识点的印象，更加灵活的运用。
知识总结 归纳总结出 双曲线的函数图像和性质，找出其不同点，能让学生理解的更加深刻，知识点运用的更加自如。
四、实践落实 例题讲解 例1 设双曲线的两个焦点分别为 上一点与距离差的绝对值等于6，求双曲线标准方程. 解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 由，，得 因此，=16. 所以，双曲线得标准方程为 例2.求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程． 解：设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)． 由题意易求得c＝2. 又双曲线过点(3，2)，∴－＝1. 又∵a ＋b ＝(2) ，∴a ＝12，b ＝8. 故所求双曲线的方程为－＝1. 通过课堂练习题对知识点进行实际的应用，加深学生对知识点进一步的理解和掌握，能在实际问题当中，更好地运用这些知识点。

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