资源简介

教学设计模板
教师姓名 单位
学段 高中 学科 数学 适用年级 高一年级
授课时间 课型 新授课 授课时数
题目 6.3.1平面向量基本定理
课标要求 在探究向量的运算性质的基础上，理解并掌握平面向量基本定理的定义及其意义，会应用平面向量基本定理解决简单平面几何问题。利用平面向量共线定理将平面向量基本定理具体化，通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力。
核心素养目标 1.经历平面向量基本定理的探索过程，体会由力的分解到向量的分解过程。 2.理解并掌握平面向量基本定理的定义及其意义，会应用平面向量基本定理解决简单平面几何问题。利用平面向量共线定理将平面向量基本定理具体化，通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力； 3.注重引导学生积极参与学生定理形成的探索过程，引导学生去归纳、发现定理。
教学重点 平面向量基本定理。
教学难点 平面向量基本定理的理解与应用。
教学策略 1.探究与发现 2.自主练习与指导
教具准备 多媒体课件，班班通，教材
教学方法 启发和探究教学相结合，自主练习与指导相结合。
学习方法 从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象。
教学过程
环节一：复习回顾，温故知新。
教师活动： 情景导入 已知平面内一向量是该平面内两个不共线向量b，的和，怎样表达？ 问题：如果向量b与共线、与共线，上面的表达式发生什么变化？ 根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：= 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 学生活动： 带着已有的知识储备，进入新的学习内容
活动意图说明： 通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
环节二：预习课本，引入新课
教师活动： 阅读课本25-27页，思考并完成以下问题 1、平面向量基本定理的内容是什么？ 2、如何定义平面向量的基底？ 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使=. 注意： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一 λ是被 ，、唯一确定的数量. 学生活动： 学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
活动意图说明： 通过思考，阅读教材找出答案，提高学生的解决问题、分析问题的能力。建立知识间的联系，提高学生分析问题、概括能力。让学生进一步理解数量积的定义，提高学生理解问题的能力。
环节三：巩固练习
教师活动： 例1.如图，不共线，且，用表示。 解：因为，所以 思考4：观察你有什么发现？ 【结论】如果三点共线，点O是平面内任意一点，若，则。 例2.如图，CD是的中线，，用向量方法证明是直角三角形。 证明：设 所以， 所以。 于是是直角三角形。 学生活动： 通过说明，让学生进一步理解平面向量基本定理，提高学生理解问题的能力。
活动意图说明： 通过例题练习平面向量基本定理的运用，提高学生解决问题的能力。
环节四：达标检测
教师活动： 1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是(　　) A．，　　　B．， C．， D．， 2．已知向量a＝－2，b＝2＋，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是(　　) A．不共线 B．共线 C．相等 D．不确定 3．如图，在矩形ABCD中，若＝5，＝3，则＝(　　) A．(5＋3) B．(5 －3) C．(3－5) D．(5e2－3) 4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 学生活动： 学生可根据老师提示，思考答案； 1.【解析】　由于，不共线，所以是一组基底． 2.【解析】　∵a＋b＝3－，∴c＝2(a＋b)，∴a＋b与c共线． 3.【解析】　＝＝(＋) ＝(＋)＝(5＋3)． 4.【解析】　∵A，B，D三点共线， ∴存在实数t，使＝t，则－＝t(－)，即＝＋t(－)＝(1－t)＋t，∴即λ＝－.【答案】　C
活动意图说明： 通过达标检测本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
环节五：课后小结
平面向量基本定理； 基底；
作业设计 1.教材27页练习1、2、3题2. 练习册
板书设计 6.3.1平面向量基本定理 复习巩固 平面向量基本定理 基底 例1 例2
教学反思与改进 优点： 不足： 改进措施：
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教师姓名 单位
学段 高中 学科 数学 适用年级 高一年级
授课时间 课型 新授课 授课时数
题目 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3向量的加法、减法坐标表示
课标要求 掌握平面向量的正交分解及其两个向量坐标表示的和与差的运算坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力、数形结合和化归与转化能力。
核心素养目标 1.通过学习平面向量的正交分解及其加法、减法坐标表示坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力 。 2.掌握平面向量的正交分解及其两个向量坐标表示的和与差的运算坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力、数形结合和化归与转化能力。 3.从正交分解表示向量，能用基地表示任何一个向量，以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学重点 向量的坐标表示。
教学难点 向量的加、减运算的坐标表示的理解。
教学策略 1.探究与发现 2.自主练习与指导
教具准备 多媒体课件，班班通，教材
教学方法 启发和探究教学相结合，自主练习与指导相结合。
学习方法 从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象。
教学过程
环节一：复习回顾，温故知新。
环节一：复习引入
教师活动：问题1：什么是平面向量基本定理？ 提问：什么是平面向量基本定理？ 学生活动： 如果 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量 ，有且只有一对实数 ，使 。我们把不共线向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
活动意图 引导学生从本质上认识平面向量基本定理的实质就是把向量分解为两个不共线的向量之和.特殊地， 互相垂直时一种特殊分解，会为我们带来方便.例如，在物理中，重力 能分解成 两个方向的力， 互相垂直，这就是力的正交分解。 引出正交分解的概念，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做正交分解。
环节二：探究新知1
教师活动 我们知道，在平面直角坐标系中，每一点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢 提问：我们知道，在平面直角坐标系中，每一点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢 学生活动 （1）建立直角坐标系，选x,y轴方向上的单位向量 作为基底； （2）作平面内的任意一个向量 ，以 为基底，根据平面向量基本定理，分解向量 ； （3）这样，平面内的任一向量 都可由x，y唯一确定，我们把有序数对 (x，y) 叫做向量 的坐标，记作 。 其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标， 叫做向量 的坐标表示。
活动意图说明 借助平面直角坐标系，引导学生理解平面向量的正交分解及坐标表示
环节三.巩固练习1
教师活动 思考1：在平面直角坐标系中，向量 的坐标是什么含义？ 思考2：你能写出向量 的坐标表示吗？ 思考3：实数对“（0，1）”表示什么意思？ 引导学生思考以上问题 学生活动 （1）以x、y轴方向上的单位向量为基底， 分解后的系数所对应的实数对(x,y) （2）点A（0，1），区间（0，1），向量 ＝（0，1），如果不作说明则指向不明。
活动意图说明 引导学生对向量坐标表示概念进行深入理解。
环节四：探究新知2
教师活动问题3： 如图，以O为起点作向量 ，则 的坐标与点A的坐标有何联系？ 【活动预设】 设 ，则向量的坐标 (x，y) 就是终点A的坐标； 反过来，终点A的坐标 (x，y) 也就是向量 的坐标. 因为 ，所以终点A的坐标 (x，y) 就是向量 的坐标。 所以，如果向量的起点在原点，则终点的坐标就是向量的坐标.这就建立了点的坐标与向量坐标之间的联系。 学生活动 认真听课并阅读课本第28也做好记录
活动意图说明 理解平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标之间的联系。
环节五：（初步应用，理解概念）
教师活动 书第29页，例3：如图，分别用基底 表示向量 ，并求出它们的坐标. 由图可知，，所以.同理， 让学生试着写出 ， .
活动意图说明 （1）加深对向量坐标表示的理解； （2）向量坐标与点坐标联系的应用.
环节五：探究新知3
教师活动 思考：已知，你能得到的坐标吗？ 总结出： 两个向量和（差）的坐标表示分别等于这两个向量相应坐标的和（差） 学生活动： 试着让学生写出两个向量和（差）的坐标表示 即 同理可得。 这就是说，两个向量和（或差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
教师活动 讲解书上第29页：例题4 已知的坐标。 黑板上演示：例题4第一个问题解： 学生活动
环节六：课后小结 求向量加法、减法的坐标运算
作业设计 教材第30页练习题：1，2（完成时间20分钟）
板书设计 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3向量的加法、减法坐标表示 1.正交分解 2.向量的坐标表示 例题3 3.两个向量和（差）的坐标表示分别 例题4 等于这两个向量相应坐标的和（差）
反思与改进 优点： 不足： 改进措施：
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教师姓名 单位
学段 高中 学科 数学 适用年级 高一年级
授课时间 课型 新授课 授课时数
题目 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
课标要求 掌握平面向量的正交分解及其两个向量坐标表示的和与差的运算坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力、数形结合和化归与转化能力。
核心素养目标 1.掌握向量数乘运算的坐标表示。 2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线，学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。 3.通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
教学重点 向量数乘运算的坐标表示，根据向量的坐标，判断向量共线。
教学难点 向量的坐标表示的理解及运算的准确性。
教学策略 1.探究与发现 2.自主练习与指导
教具准备 多媒体课件，班班通，教材
教学方法 启发和探究教学相结合，自主练习与指导相结合。
学习方法 从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象。
教学过程
环节一： (1)复习回顾，温故知新(2)探索新知
教师活动： 1.已知，则的坐标是什么？ 2.思考：已知 ，你能得到的坐标吗？ 结论：这就是说，实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标. 学生活动： 1. 2.因为，所以 即
活动意图说明 通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
环节二：（1）典型例题（2）探究向量的共线
教师活动 1.已知的坐标。 2.探究：设，若向量共线（其中），则这两个向量的坐标应满足什么关系？ 结论：这就是说，向量共线的充要条件是。 学生活动 1. 2.向量共线的充要条件是存在实数，使，用坐标表示为即整理得，
活动意图说明 通过例题让学生进一步识记向量加、减法、数乘的坐标运算，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过探究，掌握共线向量的坐标之间的关系，提高学生分析问题、概括能力。
环节三：（1）巩固练习（2）课堂小结
教师活动 若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则3a－2b的坐标是(　　) 小结：1. 向量数乘运算的坐标表示； 2.共线向量的坐标表示； 学生活动 3a－2b＝3(2，1)－2(1，0)＝(4，3)。 学生自由发言，总结本节所学内容。
教师活动： 1.已知 2.已知判断A，B，C三点之间的关系。 学生活动： 1.解：因为， 解得。 2．解：猜想A，B，C三点共线。因为，又所以。又直线AB，直线AC有公共点A， 所以，A，B，C三点共线。
活动意图说明 通过例题练习共线向量的坐标运算，提高学生解决问题的能力。
环节二：（1）典型例题（2）中点坐标公式
教师活动 例4.设点P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别为 ，（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； 学生活动 结论：中点坐标公式
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。 若点P1，P2的坐标分别为， 线段P1P2的中点P的坐标为，则。 探究：如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别为 ，点P是直线P1P2上的一点，当时，点P的坐标是什么？
活动意图说明 通过例题进一步掌握向量加法、减法、数乘向量的坐标运算，提高学生的观察、概括能力。
环节三：（1）巩固练习（2）课堂小结
教师活动： 已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝(　　) 小结：1. 向量数乘运算的坐标表示； 2.共线向量的坐标表示； 3.中点坐标公式; 学生活动： 因为a＝(－6，2)，b＝(m，－3)， 若a∥b则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9. 学生自由发言，总结本节所学内容。
活动意图说明 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
作业设计 P33练习3，5题 同步练习册
板书设计 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（2） 环节一：(1)复习回顾，温故知新 环节二：（1）典型例题 （2）中点坐标公式
教学反思与改进 优点： 不足： 改进措施：
教师姓名 单位
学段 高中 学科 数学 适用年级 高一年级
授课时间 课型 新授课 授课时数
题目 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
课标要求 通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹鱼及判定两个向量垂真，培养学生数学运、逻辑推理的数学素养。
教材分析 本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第五课时的内容.由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来。
学情分析 前几节学生已学面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，为了让学生容易理解公式的推导，首先回顾平面向量数量积的定义、性质、运算律、平画向量的坐标表示和线性运算，从而推导平面向量数量积的坐标表示。学生有了平面向量的坐标表示及坐标运算的经验，就顺其自然的考虑到平面向量的数量积是否也可以用坐标表示的问题。
核心素养目标 1.掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式。 2.能用公式求向量的数量积、模、夹角。 3.掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题。 4. 经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
教学重点 平面向量的概念；平面向量的表示；平面向量之间的关系。
教学难点 平面向量的表示；平面向量之间的关系。
教学策略 1.探究与发现 2.自主练习与指导
教具准备 多媒体课件，班班通，教材
教学方法 启发和探究教学相结合，自主练习与指导相结合。
学习方法 从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象。
教学过程
学习活动设计
环节一：复习回顾，温故知新
教师活动： 1.平面向量的数量积(内积)的定义： 2.两个向量的数量积的性质： 学生活动： 1. 2.
活动意图说明 通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
前面，我们学习了用坐标表示平面向量的加法和减法, 平面向量的数量积是如何定义, 向量的运算律有哪些.那么可以用坐标表示平面向量的数量积吗？如果可以，怎么表示
教师活动 1.探究：已知两个非零向量，怎样用向量的坐标表示？ 分析： 所以 学生活动 1.数量积的坐标表示：， 故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
活动意图说明 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
环节三：（1）巩固练习（2）课堂小结
教师活动 练习：已知a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝(　　) A．5 B．4 C．－2 D．－1 小结：1. 向量数量积的坐标表示； 学生活动 【解析】　a·b＝(1，－1)·(2，3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.D 小结：
活动意图说明 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
教师活动： 思考1：设，则用坐标怎样表示？ 思考2.表示的有向线段的起点和终点的坐标分别为，那么的坐标，怎么用坐标表示？ 思考3.设，则用坐标表示能得到什么结论？ 思考4：设是两个非零向量，其夹角为θ，若，那么如何用坐 标表示？ 学生活动： 1.答案 2. 3. 4.
活动意图说明 通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
教师活动 例1.已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断△ABC的形状，证明你的猜想. 学生活动
活动意图说明 通过例题进一步熟悉向量的应用，提高学生的观察、概括能力，进一步体会向量的工具性。
环节三：（1）课堂练习（2）课堂小结
教师活动 已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 老师让学生总结本节所学内容。 学生活动 由题意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.故选A 小结：1. 向量数量积的坐标表示；2.向量的模的坐标表示，向量垂直的充要条件；3.向量的夹角公式的坐标表示;
活动意图说明 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
作业设计 P33习题6，3 第8，10题 同步练习册
6. 板书设计
教学反思与改进 优点： 不足： 改进措施：

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