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5.1 认识二元一次方程组
一、教学目标
1. 了解二元一次方程（组）及其解的定义.
2. 会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.
3. 能根据简单的实际问题列出二元一次方程组.
二、教学重难点
重点:初步掌握运用二元一次方程组解决实际问题.
难点:找到并建立两个等量关系,列出两个独立的方程.
三、教法与学法
教法:在教学中,设计“问题情境——建立模型——问题解决——反思拓展”的教学环节,让学生经历探究数学建模的全过程,引导学生抓住问题的本质,正确、熟练地运用方程模型解决问题,领会数学建模的思想和方法.
学法:上课认真听讲,勤于思考,积极与同伴交流自己的想法,快速理解课堂教学内容,归纳总结教师讲解的要点.
四、教学过程
（一）情境导入
问题1：
一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着.
老牛:累死我了!
小马:你还累 这么大的个,才比我多驮了2个.
老牛:哼,我从你背上拿来1个,我的包裹数就是你的2倍!
小马:真的 !
它们各驮了多少包裹呢
请同学们思考以下两个问题:
(1)上述问题中有几个未知数,列一元一次方程能解吗
(2)如果设两个未知数x,y,你能列出几个独立的方程
探究解决问题:
学生充分探究讨论后,可得下面几个方法:
(1)如果设小马驮x个包裹,那么根据题意,得
x+2+1=2(x-1)
如果设老牛驮x个包裹,那么根据题意,得
2(x-2-1)=x+1
(2)如果设小马驮x个包裹,老牛驮y个包裹,那么根据老牛比小马多驮了2个,得
x+2=y　①
根据老牛从小马背上拿来1个,老牛的包裹数就是小马的2倍,得
y+1=2(x-1)　②
这里的x,y既要满足关系①,又要满足关系②,就是说它必须同时满足上面的①、②两个方程.因此,我们把上面两个方程加上括号联合在一起,写成:
问题2：
昨天,我们8个人去红山公园玩,买门票共花了34元.每张成人票5元,每张儿童票3元.他们到底去了几个成人、几个儿童呢 同学们,你们能否用所学的方程知识解决呢
学生充分讨论后,可得到:
如果设有x个成人,则儿童有(8-x)个,那么根据题意,得
5x+3(8-x)=34
如果设有x个儿童,则成人有(8-x)个,那么根据题意,得
3x+5(8-x)=34
探究:如果分别设未知数,将得到什么样的关系式
这个问题由于涉及到有几个成年人和几个儿童两个未知数,我们设他们中有x个成年人,有y个儿童,在题目的条件中,我们可以找到的等量关系为:成人人数+儿童人数=8,成人票款+儿童票款=34.由此我们可以得到方程x+y=8①和5x+3y=34②.
这里的x,y既要满足关系①,又要满足关系②,就是说它必须同时满足上面的①、②两个方程.因此,我们把上面两个方程加上括号联合在一起,写成:
通过生动活泼的引例,吸引学生的注意力,培养学生的学习兴趣,去努力探究新知识.
（二）概念解析
1.引导学生观察“问题1”和“问题2”中的四个方程,提出以下问题让学生思考回答.
请同学们思考如下问题,并回答:
(1)上面所列方程有几个未知数
[各有2个.]
(2)所含未知数的项的次数是多少
[次数为1.]
(3)“问题1”里的方程①、②与“问题2”里的方程①、②有什么共同特点
[都是含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程.]
以上问题,学生都可以根据问题的引导,自主探究得到结论.
总结:
二元一次方程的概念:含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程.
思考:概念中的未知数的系数可以是0吗 如果未知数的系数有一个为0,你认为它们还是二元一次方程吗 你认为一个方程是二元一次方程,关键是看什么
注意这个定义有两个要求(1)含有两个未知数;(2)所含未知数的项的次数是1.
议一议:在上面的方程x+y=8和5x+3y=34中,x所代表的对象相同吗 y呢
方程x+y=8和5x+3y=34中,x,y所代表的对象分别相同.因而x,y必须同时满足方程x+y=8和5x+3y=34.把它们联立起来,得
像这样,共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.
例如,和等都是二元一次方程组.
思考：(1)x=6,y=2适合方程x+y=8吗 x=5,y=3呢 x=4,y=4呢 你还能找到其他x,y值适合方程x+y=8吗
(2)x=5,y=3适合方程5x+3y=34吗 x=2,y=8呢
(3)你能找到一组x,y值,同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
如x=6,y=2是方程x+y=8的一个解,记作同样,也是方程x+y=8的一个解.
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.
例如,就是二元一次方程组的解.
类比一元一次方程,学生通过比较、讨论、自主探究,得出二元一次方程的特征,了解二元一次方程的定义,掌握二元一次方程及二元一次方程组的解的概念,强化本课的重点内容,为下节课学习解二元一次方程组做准备.
（三）典例解析
例1 判断下列方程是否为二元一次方程：
判断一个方程是否为二元一次方程的方法：
一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；
二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1.
例2 已知|m－1|x|m|＋y2n－1＝3是二元一次方程，则m＋n＝________．
解析：根据题意得|m|＝1且|m－1|≠0，2n－1＝1，解得m＝－1，n＝1，所以m＋n＝0.
方法小结：由方程是二元一次方程可知：
(1)未知数的系数不为0；
(2)未知数的次数都是1.
例3 下列哪些是二元一次方程组？
例4 已知二元一次方程组的解是，求a与b的值.
解：把代入到方程组,得：
解得a =2,b=11.
（四）课堂演练
1.方程4x-5x＋y＝0,2x＋xy＝1,7x＋y－2x＝0，x2－x＋1＝0中，二元一次方程的个数是 ( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 1个　　 B. 2个　 C. 3个 　 D. 4个
2.下列方程组中是二元一次方程组的是 ( )
3. 解为的方程组是 ( )
4.小刘同学用10元钱购买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设他购买了1元的贺卡x张，2元的贺卡y张，那么可列方程组(　　)
5.已知是方程2x-4y+2a=3的一组解，则a=____.
6.若方程2x2m+3+3y3n-7=0 是关于x、y的二元一次方程，则m=______，n=______；
7.把一根长13 m的钢管截成2 m长或3 m长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？
（五）课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获
本节课主要学习了:
1.含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数是1的方程叫做二元一次方程.
2.含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组.
3.适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.
4.二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.
（六）布置作业
教材习题5.1.
五、板书设计
5.1　认识二元一次方程组 1.二元一次方程的定义 2.二元一次方程组 3.二元一次方程的解 4.二元一次方程组的解
六、教学反思
本课从两匹马的对话引入,生动活泼,让学生经历从不同角度寻求不同的解决方法的过程,体现出解决问题策略的多样性,激发了学生的学习兴趣.以列一元一次方程解法衬托出列二元一次方程组解法的优越性,容易使学生体会到二元一次方程组的引入顺理成章.
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