资源简介

7.2.2 定义与命题
一、教学目标
1. 知道什么是公理，什么是定理，理解证明的概念.
2.了解真命题的证明、公理化思想，以及证明的出发点，通过具体事例感受证明的基本步骤和书写格式.
3. 理解证明要步步有据，培养学生养成科学严谨的学习态度.
二、教学重难点
重点:知道真命题、假命题、定理的含义,会探索证明定理的过程.
难点:能区分真命题、假命题，知道如何证明定理.
三、教法与学法
教法:通过探究讨论,启发、引导学生学习本课内容.
学法:观察、讨论、交流、归纳、应用.通过课堂讨论和练习掌握新知识.
四、教学过程
（一）问题探究
（二）交流碰撞
古希腊数学家欧几里得 （Euclid，公元前300年前后）编写了一本书，书名叫做《原本》（Elements）. 为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据。
挑选一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据,其中的数学名词称为原名,公认的真命题称为公理.
除了公理外,其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.
演绎推理的过程称为证明.经过证明的真命题称为定理.
每个定理只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.
我们已经学过的公理有:
(1)两点确定一条直线.
(2)两点之间线短最短.
(3)同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(4)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
(5)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
(6)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
(7)两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
(8)三边分别相等的两个三角形全等.
说明:此外,数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质、以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.
例如
1）如果a=b，b=c, 那么a=c,这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.
2）如果a>b，b>c，那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据.
（三）典例解析
例1 下列命题不是公理的是(　　)
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．三边分别相等的两个三角形全等
总结：定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系：
(1)联系：这四者都是命题．
(2)区别：定义、基本事实、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据.
例2：证明定理“对顶角相等”
已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O (已知)，
∴ ∠AOB与∠COD都是平角(平角的定义)
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°. ∠BOD＋∠AOD＝180° （补角的定义）
∴ ∠AOC =∠BOD ( 同角的补角相等 ).
证明的书写格式:
根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据.
证明过程的注意事项：
证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
例3：证明定理 ：同角的补角相等
已知：∠2是∠1的补角， ∠3是∠1的补角.
求证：∠2=∠3.
证明：∵∠2是∠1的补角( 已知 ),
∴ ∠2＋∠1=180°( 补角的定义).
∴ ∠2＝ 180°－∠1 ( 等式的性质 ).
∵∠3是∠1的补角(已知),
∴ ∠3＋∠1＝180°( 补角的定义 ).
∴ ∠3＝ 180°－∠1 ( 等式的性质 ).
∴ ∠2=∠3(等量代换).
（四）课堂演练
1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ）
A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
3.下列句子中，是定理的是（ ），是公理的是（ ）.
A.若a=b，b=c，则a=c；
B.对顶角相等;
C.全等三角形的对应边相等，对应角相等.
4.如图所示，从①∠1＝∠2 ②∠C＝∠D ③∠A＝∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
5.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE ,
求证∠ B+ ∠D=180°.
证明：
∵ AB ∥ CD,
∴ ∠B= ∠C( ).
∵ CB ∥ DE,
∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ).
∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ).
（五）课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获
本节课主要学习了.
1.公理、定理的定义.
2.已学过的公理、定理.
（六）布置作业
教材习题7.3.
五、板书设计
7.2.2　定义与命题
1. 公理、定理
2. 已经学过的公理、定理
六、教学反思
定理证明是初中几何的重点内容之一,对学生的分析能力、逻辑思维能力、化归能力的培养与训练,起着重要的作用.本课主要说明了公理、定理的来源,以及为什么要证明定理,怎样证明定理,为以后研究平行线的性质与判定提供了必要的知识准备.初中学生的注意力还是比较容易分散的,证明定理对逻辑思维要求比较高,因此,生动形象的语言和宽松活动的气氛可以帮助他们接受新知识.
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