资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台（总课时38）§4.9图形的相似（复习课）【学习目标】能够熟练运用本章的概念和性质解决实际问题.【重难点】会利用性质判定进行计算或证明．【导学过程】一.知识结构图：二.知识点回顾：1．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果＝ ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）如果＝，那么_____，反之也成立．其中a与d叫做比例外项，b与c叫做比例内项．特殊地， b2＝ac．则称b是a、c的比例中项.（2）比例的合比性质：如果，那么=．（3）比例的等比性质：如果，那么___．3.平行线分线段成比例定理：（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段 ．（2）平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．4．相似三角形：（1）定义：如果两个三角形的各角对应 ，各边对应 ，那么这两个三角形相似．（2）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角 ，对应边 ．②相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于 ．③相似三角形的周长之比等于 ，面积之比等于 ．（3）相似三角形的判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边(或其它两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．②两边对应 ，且夹角 的两个三角形相似．③ 角对应相等的两个三角形相似．④三边对应 的两个三角形相似．⑤你知道什么是黄金分割吗？黄金比是多少？请你用图形来表示一下．答;____________________________________________________________________________________.⑥什么是位似图形？你会将一个图形放大或缩小吗？请你试着在练习本画一下．答;____________________________________________________________________________________.三.典例与练习：例1.已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）作DE∥AB交AC于点E，求DE的长．练习：1.如图，△ABC∽△AED，相似比为2∶1，若BC＝2，则DE的长是( )A．1 B．2 C．3 D．42.如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( )A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶例2.如图，△ABC是一块面积为2700cm2的三角形木板，其中BC=90cm，现在要将这块木板加工成一个正方形的桌面，如图所示，正方形DEFM即是要加工成的桌面，点D、M分别在AB、AC边上，点E、F在BC边上，根据以上数据求出这个正方形桌面的边长．练习3.若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则的值是( )A．－5 B．－ C. D．54.如图，正方形ABCD中，P为BC边上一点，以AP为斜边在正方形ABCD内部作等腰Rt△APQ，连接AC交PQ于点E，连接DQ．（1）求证：△ACP∽△ADQ；（2）若P为BC的中点，①求；②求证：PE＝QE．四.课堂小结：1.概念（包含：比例线段；相似多边形、位似）清楚，性质（包含：比例；相似三角形）明确，判定方法（包含：相似三角形、位似）熟记。2.灵活运用概念、性质、判定方法解决问题。五.分层过关：1.如果，且，那么= ．2.已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则d= cm．3.若===k，则y=kx+k一定经过第 象限．4.若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=4cm，则AC= cm．5.如图5，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6）,B（8，2）.以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为( )A.（3，3） B.（4，3） C.（3，1）D.（4，1）6.如图6，四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接AC、BE交于G点，过E作AC的平行线交CD于F点，若阴影部分的面积为a，则7.如图7，为测量旗杆的高度，小红在B处垂直竖立起一根长为2.5米的标杆,当她站在点F处时，她的眼睛E、标杆的顶端A、旗杆顶端C恰好在同一直线上，量得BF=3米，BD=9米，小红的眼睛E与地面的距离EF为1.5米，则旗杆的高度为 米．8.如图8已知点F（﹣4，2），E（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO缩小，则点F的对应点F′的坐标是（ ）A．（-2，1） B．（-8，4） C．（-8，4）或（8，-4） D．（-2，1）或（2，-1）9.如图9,△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点，点E是AB边上一点，且有∠ADE=60°.（1）找出图形中两组相似三角形，并选择一组进行证明；（2）若BD=3，CD=6，求AD的长．思考题：（2019·江苏初三）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设运动时间为t秒.（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，△CPQ是直角三角形？（3）是否存在某一时刻，使得PQ分△ACD的面积为1：11？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由.应用线段的比成比例线段线段的比比例的性质黄金分割合比性质等比性质基本性质位似性质定义图形的相似相似三角形相似多边形性质定义定义性质判定面积比=k2周长比=k对应线段比=k用定义角、角边边边边角边基本性质图1图2BEPDACFM图3ABDCPQE图4图8图6图7图5图921世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台（总课时38）§4.9图形的相似（复习课）一.选择题：1.若2x-5y=0，且xy≠0,则（ ）A. B. C. D.2.若，则等于（）A． B． C． D．3.如图1，AB∥CD，AD与BC相交于点O，，AD＝10，则OA的长为（ ）A.3 B.4 C.5 D.64.如图2，平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，连结AE交CD于F，则图中相似的三角形共有（ ）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对5.一斜坡长70米，它的高为5米，将重物从斜坡起点推到坡上20米处停下，停下地点的高度为（ ）A.米 B.米 C.米 D.米二.填空题：6.如图3，已知 DE ∥BC，AD=6cm，BD=8cm，AC=12cm，则S△ADE:S四边形DBCE=______.7.如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3:4:6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是______cm．8.如图4，点D在△ABC的边BC上，已知点E,点F分别为△ABD和△ADC的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于________．9.如图5，在△ABC中，AB=AC，点D.E分别在边BC.AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC=________．三.解答题：10.如图6，点D和点E分别在AB，AC边上，BE平分∠ABC，∠ABE=∠ACD.求证:EC2=EF×EB11.如图7，已知在 ABC中，DE∥BC，AD：DB=2：5(1)如果BC=21，求DE的长；(2)如果，求的值12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，BC=4，D为AB上一点，DE⊥AC于点E,DE=1,P为CE上一动点，设CP的长为a.（1）求CE的长；（2）a为何值时，△DEP与△BCP相似？（3）当PD+PB有最小值时，求a的值及最小值.四.提高题：13.已知：如图9，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，D是斜边AB的中点，以D为顶点，作∠EDF=∠A，∠EDF的两边交边AC于点E,F（点F不与点C重合）（1）当DF⊥AB时，求CF的长度；（2）当∠EDF绕点D转动时，设CF=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.（3）联结BF，是否存在点F，使△BDF与△ADE相似？若存在，请求出此时CF的长度；若不存在，请说明理由.图2图3图4图1图6图5图7图8图921世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台（总课时38）§4.9图形的相似（复习课）一.选择题：1.若2x-5y=0，且xy≠0,则（ C ）A. B. C. D.2.若，则等于（B）A． B． C． D．3.如图1，AB∥CD，AD与BC相交于点O，，AD＝10，则OA的长为（B）A.3 B.4 C.5 D.64.（2019·湖南初三期末）如图2，平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，连结AE交CD于F，则图中相似的三角形共有（ C ）A.1对 B.2对 C.3对 D.4对5.一斜坡长70米，它的高为5米，将重物从斜坡起点推到坡上20米处停下，停下地点的高度为（C）A.米 B.米 C.米 D.米二.填空题：6.如图3，已知 DE ∥BC，AD=6cm，BD=8cm，AC=12cm，则S△ADE:S四边形DBCE=9：40.7.如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3:4:6，△DEF的最长边是10cm，那么△DEF的最短边是__5_cm．8.如图4，点D在△ABC的边BC上，已知点E，点F分别为△ABD和△ADC的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于_4_．9如图5，在△ABC中，AB=AC，点D.E分别在边BC.AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC=_7.5_．三.解答题：10.如图6，点D和点E分别在AB，AC边上，BE平分∠ABC，∠ABE=∠ACD.求证:EC2=EF×EB解∵BF平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∵∠ABE=∠ACD，∴∠EBC=∠ECD，∵∠FEC是公共角，∴△FEC∽△CEB，，.11.如图7，已知在 ABC中，DE∥BC，AD：DB=2：5(1)如果BC=21，求DE的长；(2)如果，求的值解（1）∵DE∥BC∵BC=21.∴DE=6.（2）∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC设：，则，∴49x-4x=45∴x=1.12.如图8，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，BC=4，D为AB上一点，DE⊥AC于点E,DE=1,P为CE上一动点，设CP的长为a.（1）求CE的长；（2）a为何值时，△DEP与△BCP相似？（3）当PD+PB有最小值时，求a的值及最小值.解（1）∵DE⊥AC,∠AED=90°=∠ACB又∠A公共∴△ADE∽△ABC∴ 即，CE=12.（2）分两种情况：①△DEP∽△BCP，此时，即，a=9.6②△DEP∽△PCB，此时，即，，∴a的值为9.6或6+4或6-.（3）延长BC至点F，使CF=CB，连接DF交CE于点P，如图：∠DPE=∠CPF，∠DEP=∠PCF，则△DEP∽△FCP于是，得a=9.6.此时BP=，DP=，最小值为13.四.提高题：13.已知：如图9，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，D是斜边AB的中点，以D为顶点，作∠EDF=∠A，∠EDF的两边交边AC于点E,F（点F不与点C重合）（1）当DF⊥AB时，求CF的长度；（2）当∠EDF绕点D转动时，设CF=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.（3）联结BF，是否存在点F，使△BDF与△ADE相似？若存在，请求出此时CF的长度；若不存在，请说明理由.解（1）∵∠C=90°，AC=4，AB=5，∴BC=3.∵DF⊥AB，∴∠ADF=∠ACB=90°，∵∠A=∠A,∴△ADF∽△ACB，∴AD:AC=AF:AB，∴AF=，则CF=，∴CF的长为；(2)连接CD,∵D是斜边AB上的中点，∴AD=DB=CD=2.5，∴∠DCA=∠DAC，又∵∠FDE=∠A，∴∠CDE=∠AFD，又∵∠DCA=∠DAC，∴△CDE∽△AFD，∴CD:AF=CE:AD,即2.5:(4-x)=y:2.5，∴；(3)如图，①当△BFD∽△ADE，则∠FBD=∠A,∴FB=FA，则BF2=CF2+BC2，∴(4-CF)2=CF2+9解得CF=；②当△BFD∽△DAE，则∠BFD=∠A，∴△BFD∽△BAF，BF:AB=BD:BF，∴BF2=，∴CF==.∴当CF=或时，△BDF与△ADE相似.图3图2图4图1图6图5图7图8图921世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台（总课时38）§4.9图形的相似（复习课）【学习目标】能够熟练运用本章的概念和性质解决实际问题.【重难点】会利用性质判定进行计算或证明．【导学过程】一.知识结构图：二.知识点回顾：1．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果＝，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）如果＝，那么ad=bc，反之也成立．其中a与d叫做比例外项，b与c叫做比例内项．特殊地， b2＝ac．则称b是a、c的比例中项.（2）比例的合比性质：如果，那么=．（3）比例的等比性质：如果，那么k．3.平行线分线段成比例定理：（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．（2）平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．4．相似三角形：（1）定义：如果两个三角形的各角对应相等，各边对应成比例，那么这两个三角形相似．（2）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．②相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．③相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．（3）相似三角形的判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边(或其它两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．③两角对应相等的两个三角形相似．④三边对应成比例的两个三角形相似．⑤你知道什么是黄金分割吗？黄金比是多少？请你用图形来表示一下．答;在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．黄金比≈0.618.⑥什么是位似图形？你会将一个图形放大或缩小吗？请你试着在练习本画一下．答：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,并且对应边平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.三.典例与练习：例1.已知，如图1，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）作DE∥AB交AC于点E，求DE的长．证：(1)∵AB2=BC×BD=4,∠B=∠B,∴△ABD∽△CBA,(2）∵DE∥AB∴DE：AB=DC：BC=3：4,∵AB=2.∴DE=1.5.练习：1.如图2，△ABC∽△AED，相似比为2∶1，若BC＝2，则DE的长是( A )A．1 B．2 C．3 D．42.如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( D )A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶例2.如图3，△ABC是一块面积为2700cm2的三角形木板，其中BC=90cm，现在要将这块木板加工成一个正方形的桌面，如图所示，正方形DEFM即是要加工成的桌面，点D、M分别在AB、AC边上，点E、F在BC边上，根据以上数据求出这个正方形桌面的边长．解：设正方形桌面边长是xcm,由题得：AP=60，解得：x=36(cm)答：这个正方形桌面的边长是36cm.练习3.若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则的值是(A)A．－5 B．－ C. D．54.如图4，正方形ABCD中，P为BC边上一点，以AP为斜边在正方形ABCD内部作等腰Rt△APQ，连接AC交PQ于点E，连接DQ．（1）求证：△ACP∽△ADQ；（2）若P为BC的中点，①求；②求证：PE＝QE．证：（1）∵∠QAP=45°∴,∵∠DAQ+∠QAC=∠PAC+∠QAC=45°∴∠DAQ=∠CAP∵∴△ACP∽△ADQ.①设：AB=2x则AP=x,AC=2x,∵∠APE=∠ACP=45,∠PAE=∠CAP,∴△APE∽△AEC∴,②由①得：AE=,PE=,PQ=AP=,∴EQ=PQ-PE=,∴PE＝QE,四.课堂小结：1.概念（包含：比例线段；相似多边形、位似）清楚，性质（包含：比例；相似三角形）明确，判定方法（包含：相似三角形、位似）熟记。2.灵活运用概念、性质、判定方法解决问题。五.分层过关：1.如果，且，那么=5:3．2.已知a，b，c，d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则d=4cm．3.若===k，则y=kx+k一定经过第 2，3 象限．4.若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=4cm，则AC=或cm．5.如图5，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6）,B（8，2）．以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为(A)A.（3，3）B．（4，3）C．（3，1）D．（4，1）6.如图6，四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接AC、BE交于G点，过E作AC的平行线交CD于F点，若阴影部分的面积为a，则1.5a7.如图7，为测量旗杆的高度，小红在B处垂直竖立起一根长为2.5米的标杆,当她站在点F处时，她的眼睛E、标杆的顶端A、旗杆顶端C恰好在同一直线上，量得BF=3米，BD=9米，小红的眼睛E与地面的距离EF为1.5米，则旗杆的高度为 5.5 米．8.如图8已知点F（﹣4，2），E（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为2，把△EFO缩小，则点F的对应点F′的坐标是（D）A．（-2，1）B．（-8，4）C．（-8，4）或（8，-4）D．（-2，1）或（2，-1）9.如图9,△ABC是等边三角形，点D是BC边上一点，点E是AB边上一点，且有∠ADE=60°.（1）找出图形中两组相似三角形，并选择一组进行证明；（2）若BD=3，CD=6，求AD的长．解：（1）①△BED∽△CDA，②△ABD∽△ADE证：∵∠ADE=∠B=60°，∠CDA+∠ADE=∠BED+∠B∴∠CDA=∠BED∵∠C=∠B=60°，∴△BED∽△CDA∵BD=3，CD=6∴AB=AC=BC=9，∵△BED∽△CDA∴∴BE=2∴AE=AB-BE=9-2=7∵△ABD∽△ADE∴AD2=AE×AB=7×9=63∴AD=思考题：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设运动时间为t秒.（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，△CPQ是直角三角形？（3）是否存在某一时刻，使得PQ分△ACD的面积为1：11？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由.解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，，∵，∴，（2）由（1）知，CD=4.8，由运动知，CQ=t,DP=t，∴CP=CD-DP=4.8，∵∠ACB=90，∴∠ACD+∠BCD=90，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90，∴∠ACD=∠B，∵△CPQ是直角三角形，∴①当PQ⊥CD时，如图a∴△CPQ∽△BCA，∴，∴，∴t=3②当PQ⊥AC，如图b．∴△CPQ∽△BAC，∴，∴∴t=1.8，即：t为3秒或1.8秒时，△CPQ是直角三角形（3）假设存在，如图，在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD=6.4，过点Q作CE⊥CD于E，∴QE∥AD，∴△CEQ∽△CDA，∴，∴，∴QE=0.8t，∵，，∵PQ分ACD的面积为1：11，∴①当时，∴，∴，解得，②当时，，∴，而，此方程无解，即：此种情况不存在，综上所述，当时使得PQ分△ACD的面积为1：11.应用线段的比成比例线段线段的比比例的性质黄金分割合比性质等比性质基本性质位似性质定义图形的相似相似三角形相似多边形性质定义定义性质判定面积比=k2周长比=k对应线段比=k用定义角、角边边边边角边基本性质ACBE图1图2BEPDACFM图3ABDCPQE图4图8图7图6图5图5图5图5图921世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 （导学案）§4.9图形的相似（复习课）（学生版）.doc （导学案）§4.9图形的相似（复习课）（教师版）.doc （课时练习）§4.9图形的相似（复习课）（学生版）.doc （课时练习）§4.9图形的相似（复习课）（教师版）.doc
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