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解决问题的策略题型归纳总结
知识梳理
知识点 内容
转化的策略 把一个数学问题转变成一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使原问题得以解决的一种策略。运用转化的策略能够使问题化繁为简，化未知为已知。
图形问题 不规则图形的面积计算方法： ①将图形放在方格中转化成规则图形，运用数方格的方法计算。 ②用数方格的方法需要一个格一个格地数，并且有一些涂色部分占的不是满格，数出的结果会和实际有误差。 阴影部分的面积计算方法： 用割补、平移、旋转法等方法将阴影部分的面积转换成与之等价的常规图形的面积，然后再用公式计算出来即可。
计算问题 数形结合法转换问题 如：计算+++，用一个正方形表示单位“1”，用图中的阴影部分表示算式中的每个加数，如图所示: 阴影部分的大小就是算式的和，即。
换个角度思考 如：有8支足球队参加比赛，比赛以单场淘汰制进行（每场比赛淘汰1支球队），一共要进行多少场比赛才能产生冠军？ 每场比赛淘汰1支球队→产生冠军，要淘汰7支球队→8-1=7（场）
化新为旧 计算异分母分数加减法时，把异分母分数转化成同分母分数。 推导圆面积公式时，把圆转化成长方形。 计算小数乘法时，把小数乘法转化成整数乘法。 …………
题型一、用转化的策略解决计算问题
简便计算：（1）
【分析】本题是整数与带分数的连加运算，我们可以把带分数拆成整数和分数，然后将整数和分数分别相加。分数部分可以放在单位“1”的正方形中，如下图，涂色部分就是分数的和。最后将整数部分的和与分数部分的和相加。
【详解】
=
=
=
=
（2）
=
=
=
=
总结：简便运算时，①遇到“+……”时，可用简图转换成“1-最后一项”，但是不可以盲目套用公式，必要时，借助图形帮助分析！
②遇到“1+2+3+……”/“1+3+5+……”等等差数组求和时，可利用公式“”求和。
题型二、用转化的策略解决图形问题
如图，两个相同的直角三角形有一部分重叠在一起，求涂色部分的面积。（单位：米）
【分析】由图可知，涂色部分是一个梯形，无法用面积公式直接求出面积。因为两个直角三角形完全相同，那么两个三角形同时减去重叠部分的面积，刺下部分的面积也是相等的，因此涂色部分的面积等于一个上底是15-5=10（米），下底是15米，高是6米的梯形的面积。
【详解】
S涂色
求涂色部分的面积。
法①：S涂色
法②：
S涂色
总结：在求阴影部分面积/涂色部分面积时，注意图形面积转换不可出错！
题型三、换个角度思考
有15人参加乒乓球单打比赛，比赛采用单场淘汰制，一共要比赛多少场才能产生冠军？
【答案】14场
【分析】方法一：采用淘汰制，首先要通过抽签，把15人分成两组，每组7人，一人轮空，进行第一轮需要打7场，输者淘汰8人晋级，然后进行第二轮比赛8人分为两组，每组4人，需要打4场，4人晋级，第三轮需要打2场，第四轮打一场决出冠军。
方法二：每场比赛淘汰1支球队→产生冠军，要淘汰14支球队→15-1=14（场）
【详解】法①：7+4+2+1=14（场）
答：一共要比赛14场才能产生冠军。
法②：15-1=14（场）
答：一共要比赛14场才能产生冠军。
学校阶梯教室有16排座位，第一排有8个座位，第二排有10个座位，依此类推，后面每排都比前一排多2个座位.阶梯教室一共有多少个座位？
【分析】解答此题的关键是先求出最后一排有多少个座位.
【详解】8＋2×（16-1）
=8＋2×15
=8＋30
=38（个）
8＋10＋…＋38
=(8＋38)×16÷2
=368（个）
答：阶梯教室一共有368个座位.
强化巩固
简便计算：
（1）
（2）
（3）
【详解】
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
用分数表示涂色部分的面积。
【详解】
如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，且AB是半圆的直径，则涂色部分的面积是多少平方厘米？
【详解】
半径：10÷2=5（cm）
三角形面积：10×5÷2=25（cm2）
学校举行乒乓球比赛，有64名同学参加单打比赛，比赛以单场阔汰制（即每场比赛润次1名选手）进行。一共要讲行多少场比赛才能产生冠军？
【分析】根据题意可知，单场淘汰制比赛，一共有64名同学，两两比赛后，比赛32场，剩下32名同学，接着进行16场比赛，剩余16名同学，再接着进行8场比赛，剩余，8名同学，再接着进行4场比赛，剩余4名同学，接着进行2场比赛，剩余2名同学，最后进行1场比赛可以产生冠军。以此解答即可。
【详解】法一：32＋16＋8＋4＋2＋1=63（场）
答：一共要进行63场比赛才能产生冠军。
法二：64-1=63（场）
答：一共要进行63场比赛才能产生冠军。
如图，阴影三角形甲的面积比阴影三角形乙的面积大多少平方分米？
【分析】三角形甲的面积-三角形乙的面积=（甲的面积+空白部分面积）-（乙的面积+空白部分面积），据此解答。
【详解】12×9÷2-12×6÷2
=54-36
=18（平方分米）
答：阴影三角形甲的面积比阴影三角形乙的面积大18平方分米。
正方形的周长是32厘米，求阴影部分的面积。
【分析】
如图，用割补法将阴影部分转化为一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的面积就是正方形面积的一半，根据正方形的周长可以求出边长，进而求得阴影部分的面积。
【详解】32÷4=8（厘米）
8×8÷2
=64÷2
=32（平方厘米）
答：阴影部分的面积是32平方厘米。
环形跑道周长是500米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发，甲每分钟跑120米，乙每分钟跑100米，两人都是每跑200米停下来休息1分钟，那么甲第一次追上乙需要多少分钟？
【分析】根据题意知道，甲乙出发后第一次停留在同一个地方，那么就有当甲行200米之后，再出发的时间是200÷120+1>2分钟.这时，乙用2分钟，也行了100×2=200米的地方，意思是说，乙用了2分钟，就和在休息的甲在200米的地方停留；又因为甲比乙多行500米而追上，行完之后，甲比乙多行500米，那么就说明多休息500÷200=2...100，即2次，即甲追乙的路程是（500÷100×2），要追700米，甲需要走的时间即可求出，甲行35分钟需要休息的时间即可求出.
【详解】因为当甲行200米之后，再出发的时间是200÷120+1>2分钟
所以这时，乙用2分钟，也行了的地方是：100×2=200（米），
意思是说，乙行了2分钟，就和在休息的甲在200米的地方停留.
又因为甲第一次追上乙时，甲比乙多行500米，
那么就说明多休息的次数是：500÷200=2...100，即2次.
即甲追乙的路程是：500+100×2=700（米），
要追700米，甲需要走的时间是：700÷（120-100）=35（分），
甲行35分钟需要休息的时间是：35×120÷200-1=20（分），
所以共需35+20=55（分）；
解：甲第一次追上乙需要55分钟.
如图，正方形的边长是20厘米，求图中阴影部分的面积。
【分析】由图意可知，阴影部分面积=2个直径为20厘米的半圆的面积-一个底为20厘米、高是20厘米的三角形的面积。
【详解】3.14×(20-2) -20×20÷2
=3.14×100-200
=314-200
=114（平方厘米）
答：图中阴影部分的面积是114平方厘米。
计算1 +1 ＋2 +3 +5 +8 +13 +21 +34 +55 +89
提示：可利用"数形结合"的方法来探索，拼成如下图所示的长方形来研究。
图形 …
算式 1 +1 1 +1 +2 1 +1 +2 +3 1 +1 ＋2 +3 +5 …
【分析】观察图形和算式，可以发现长方形的长等于这一列数的最后一个数和倒数第二个数相加的和，长方形的宽等于这一列数最后一个数，那么求这一列数的平方和就相当于求长方形的面积，而长方形面积=（最后一个数+倒数第二个数）×最后一个数，所以求这一列数的平方和根据此规律解答即可。
【详解】1 +1 ＋2 +3 +5 +8 +13 +21 +34 +55 +89
=89×(89＋55)
=89×144
=12816

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