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8.数学广角——数与形教学设计
教学目标
1.体会数与形的联系，进一步积累数形结合数学活动经验，培养学生数形结合的数学思想意识。
2.体验数形结合的数学思想方法价值，激发学生用数形结合思想方法解决问题的兴趣，感受数学的魅力。
3.在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想。
教学重、难点：
教学重点：经历探索规律的过程，通过观察、操作、归纳等活动，在数与形之间建立联系，发现并运用规律进行计算。
教学难点：
通过教学活动，积累活动经验，培养学生用数形结合的思想解决问题，并迁移到解决其他实际问题。
教学准备：多媒体课件，彩笔，学习任务单。
教学过程
（一）情境创设，揭示课题。
师：最近老师发现，我有一项非常神奇的本领。什么本领呢？
我发现只要从 1 开始的连续奇数相加，比如，1+3,1+3+5......像这样的算式，我都算得特别快。你们信吗？
师：不信也没关系，我们现场来比一比。
师生比赛，看谁算得快。
师：老师为什么算得快呢？你发现了什么？
师：为什么会存在这样的规律呢，如果从数的角度来解释的话确实是很难的，老师给你们一点点提示，我是借助图形来研究的，今天这节课我们就来探究──数与形。
【设计意图：激发学生学习兴趣，引起孩子的好奇心，同时渗透用数形结合的思想来解决问题从而导入新课，明确这节课将会解决更为复杂的数形结合的数学问题。】
（二）动手实践，以形助数。
任务一：
1.师：观察一下，你能用这组图形表示出以下算式吗？
1=（ ）2 1+3=（ ）2 1+3+5=（ ）2
2.学生动手操作，教师巡视。
3.学生汇报，全班交流分析。
师：根据同学们的汇报，大家认为
1+3=（2）2 1+3+5=（ 3）2除了这两组同学的汇报，你们还有其他发现吗？
预设生：算式中加数的个数是几，和就等于几的平方。
师：你们认同他的方法吗？能不能举个具体的例子来说一说？
预设：
生 1：1+3+5+7=（ 4）2。
生 2：1+3+5+7+9+11+13=（ 7）2。
师：那我们从头来看一看。请看屏幕：1+3+5+7=（ 4）2。
师：一个小正方形可以看成（ 1）2，想要拼成一个更大的正方形，再增加 1 个是不够的，增加的个数要比前一个加数再多 2（也就是 3）；想拼成更大的正方形，再增加 3 个是不够的，还要比 3 个再多 2 个（也就是 5 个），此时是 1+3+5；依此类推，要加 7才能拼成更大的正方形，就能排成每行、每列的个数是 4 的大正方形。
师：用自己的话说说，你发现的规律是什么？学生说。
师：那看来只要是 1 开始的，连续的奇数相加，就能排成每行、每列个数是几的大正方形，和也就是几的平方。
师：请大家算一算
1＋3＋5＋7
=______（ ）2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13
=_______ （ ）2
=________（ ）2
学生独立完成，然后全班核对答案，全班交流。
4.小结。
师：我们同学都很细心，现在不但能很快算出从 1 开始的连续奇数的和，稍加一点变化，你们也照样算得很快。现在知道老师是用什么方法来快速计算这些题的吧？师：这么巧妙的方法，我们是借助什么发现的？（图形）。看来，有的计算问题借助图形解决会更容易。就像这个题一样，我们借助图形发现了更巧妙、更简便的方法。这就是“以形助数”。板书。
【设计意图：让学生通过想一想、算一算、议一议，亲历了从“形”到“数”的过程，能直观的发现“形”与“数”的关系。结合图形与算式发现计算规律，并且能应用规律来解决一些计算问题。让学生初次体验“形”能直观解释“数”的计算，从而体验成功的乐趣。】
（三）动手实践，以数解形。
任务二：
1.仔细观察下面这组图形，你能用算式表示出这组图形吗
预设学生思考回答：1×1=1 2×2=4 3×3=9
师：观察图形，可以从小正方形个数方面去分析，也可以从正方形面积角度去分析，所以观察角度不同，理解的也不同，这就是“以数解形”。板书。（四）建构联系，数形结合。
任务三：1.仔细观察下面这组图形，你还能发现什么规律？
预设学生思考回答：
1=（1）2 1+2+1=（2）2 1+2+3+2+1=（3）2
师：用自己的话说说，你发现的规律是什么？学生说。
师：那看来只要是 1 开始的，连续的自然数相加，再递减，和就是最大数的平方。
小结：出示上图和表格，
师：同学们很了不起，能用数和算式表示这组图形的规律，再一次让我们看到形里面藏着数，感受到了数与形密不可分的联系。其实，在我们的学习中这可不是第一次研究数与形，请同学们回忆一下，以前学习中，哪里用到过数形结合的思想呢？
学生回忆，回答。
教师总结：我们在低年级研究整数加减法、乘法时用到了图形帮我们理解算理；三年级研究倍时，线段图帮了大忙；认识分数及进行计算时，我们把图形等分，进行了研究；研究平行四边形和圆等图形的面积时，利用数和算式加深了对图形的实际应用；解决植树问题画图是一种简便快捷的方法；这学期研究分数乘除法的解决问题时，时常需要线段图来帮我们理解题意，形帮我们理解了数；第二单元位置与方向，告诉我们角度、距离等数据，我们画出台风行走路线图，数帮我们加深的对图的理解；第四单元比中，经典的黄金比 0.618：1 更是数形结合的完美体现。扇形统计图中百分数和扇形的结合，解决了很多实际生活问题。数更精准、形更直观，数形结合可以帮我们发现更多的规律，解决更多的问题。
【设计意图:数与形的关系非常密切，在教学过程中，注重运用图形，巧妙地把数和形结合起来，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念。在教学中运用数形结合，把抽象的数学概念直观化，找到了概念的本质特征，激发了学生学习数学的兴趣，增强了学生求新、求异意识。】
(五)巩固练习，拓展应用。
1.请根据例 1 的结论算一算。
1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝( )
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1=( )
2.下面每个图中最外圈有多少个小正方形？
32-1=8 52-32=16 72-52=24
照这样的规律画下去，第 5 个图形最外圈有（ ）个小正方形。你能解释其中的道理吗？
3
4.课外思考题：
观察上图的转换过程，你能得出什么数？这类数有什么特征？
(六)回顾总结，拓展延伸。
1.谈谈本节课的收获。
2.教师介绍数学家华罗庚。
师：数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。
——华罗庚
【设计意图：适时地介绍一些小知识，激发学生对数形结合的研究兴趣。通过回忆旧知，唤起相关活动记忆，沟通本节课与过去学习的内在联系。让学生感受到数形结合的学习方法并不陌生，它将一直伴随着我们的学习。】
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