资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
教科书 书 名：九年级上册数学教材 出版社：人民教育出版社
教学目标
1. 会用描点法画出形如y=ax2的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2. 通过观察图象能说出二次函数y=ax2的图象特征和性质； 3. 在类比探究二次函数y=ax2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想.
教学内容
教学重点： 从“数”（解析式）和“形”（图象）的角度理解二次函数y=ax2的性质，掌握二次函数y=ax2解析式与函数图象的内在关系； 2.根据特殊二次函数y=ax2图象， 观察、分析、归纳出二次函数的性质.
教学难点： 1. 分段讨论二次函数y=ax2随x的增大如何变化；
2. 用数形结合的方法归纳二次函数y=ax2的性质。
教学过程
【活动1】 创设情景 上节课我们学习了二次函数的定义，我们知道学习函数，还要研究函数的图象和性质。请同学们回顾我们是如何研究一次函数的图象和性质的？ 二次函数的一般形式是y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，也就是说b、c可以为零，当b、c都为零时，解析式为y=ax2。类比一次函数图象和性质的研究，我们今天先来研究二次函数y=ax2的图象和性质。 师生活动：共同回忆一次函数图象性质的研究过程以及二次函数的定义，类比一次函数图象和性质的研究，引出本节课题. 设计意图：通过问题情境，让学生回忆从特殊到一般的研究方法，感受用类比的思想研究新函数的图象和性质，初步了解探究任务. 【活动2】 画函数图 问题1 如何画出函数y=x2的图象？ 师生活动：（1）引导学生回顾一次函数的画图方法，用描点法画出函数y=x2的图象。 （2）列表时注意自变量取值是否具有代表性和方便计算，列表后引导学生分析表中数值，当自变量互为相反数时，他们的函数值相等，它们对应到坐标系当中的点，是关于y轴对称的，猜测函数y=x2图象是关于y轴对称的。因偶次幂具有非负性，无论x取何值，y都大于等于0，因此当x=0时，函数y有最小值0，坐标原点（0,0）一定是图像的最低点，并且观察表格还能发现当x小于0时，随着x的增大，对应的函数值在减小，当x＞0时，随着x的增大，对应的函数值在增大，从“数”（解析式、表格）的角度初步分析图象. （3）画图时注意描点越多图象越精确，当用有限个点画图时，注意两端要无限延伸，准确描出图象. 教师给出抛物线概念：二次函数的图象是一条抛物线，它们的开口或者向上或者向下．一般地，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c. 教师追问：通过直观的图象展示，你能根据以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质？ 师生活动：（1）概括特征.教师引导学生尝试从图象开口方向、顶点、对称性等方面描述二次函数的图象特征.教师给出抛物线的相关概念：每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点。 （2）类比一次函数增减性研究，从图象上看二次函数随自变量的变化如何变化. 设计意图：教师引导学生用描点法画出二次函数的图象，经历从“数”到“形”的过程，尝试类比一次函数来探究特殊的二次函数y=x2的图象和性质，并以它为观察对象，了解抛物线的相关概念，体会数形结合和类比探究的数学思想. 问题2 在同一直角坐标系中，画出函数的图象． 师生活动：学生独立画出函数的图象. 教师追问1：函数的图象与函数 y=x2的图象相比，有什么相同点？ 师生活动：类比研究二次函数y=x2的方法，尝试从图象的开口方向、顶点、对称轴、增减性等分别描述两个函数的共同特征. 教师追问2：这三个函数图象有什么不同点？ 师生活动：引导学生发现a值越大，抛物线的开口越小. 设计意图：重复二次项系数a＞0时的函数画图，强化图象特征，归纳当a＞0时二次函数y=ax2的图象特征和性质. 问题3 类比a＞0时的研究过程，研究当a＜0时二次函数y=ax2的图像特征.在同一直角坐标系中，画出函数的图象，并考虑这些函数有什么相同点和不同点？ 师生活动：类比a＞0时的研究过程，学生经历画图、观察、归纳的过程，完成当a＜0时二次函数的图象性质探究，教师注意学生画图是否规范，观察角度是否准确，适时提醒. 设计意图：引导学生归纳当a＜0时二次函数y=ax2的图象特征和性质. 【活动3】 归纳性质 问题4 由特殊到一般，你能说出二次函数y=ax2的图象特征和性质吗？ 师生活动：学生相互补充，师生共同梳理归纳： 一般的，当a＞0时，抛物线开口方向向上；顶点坐标（0,0），是图象最低点，当x=0时，y有最小值为0；对称轴是y轴；当x＜0时，y随x增大而减小；当x＞0时，y随x增大而增大； 当a＜0时，抛物线开口方向向下；顶点坐标（0,0），是图象最高点，当x=0时，y有最大值为0；对称轴是y轴；当x＜0时，y随x增大而增大；当x＞0时，y随x增大而减小. a与图象开口的关系：a的符号决定抛物线的开口方向，越大，抛物线开口越小. 设计意图：梳理归纳二次函数y=ax2的图象特征和性质. 【活动3】 巩固练习 1.抛物线的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当 时，y随x的增大而减小. 师生活动：根据解析式，利用探究所得结论，说出图象特征和性质. 2.已知点 A(-2，y1)，B(-1，y2)，C(3，y3）三点在抛物线的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 . 师生活动：根据利用解析式代入法、函数增减性、图象法三种方法分析题目，比较出函数值的大小. 设计意图：利用所学解决问题. 【活动4】 课堂小结 本节课我们类比一次函数图象性质的研究，分别从解析式、列表、图象三个角度，由给定a值的特殊的二次函数入手，先画出函数图象，再通过观察图象归纳出二次函数y=ax2的图象特征和性质，让我们再次感受从特殊到一般的研究方法，体会数形结合在函数研究中的重要作用。 设计意图：通过小结，让学生梳理本节课的教学内容，掌握二次函数y=ax2的图象和性质，体会从特殊到一般的研究方法、感受类比的思想，体会数形结合在函数研究中的重要作用. 【活动5】 布置作业 （1）已知 是二次函数,且其图象开口向上,则k= ，函数解析式为 . （2）当时，求函数的最大值和最小值. 设计意图：考查学生对二次函数y=ax2的定义和图象性质的掌握情况，以及数形结合的思想.

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