资源简介

教学设计
课程基本信息
学科 初中数学 年级 八年级 学期 春季
课题 勾股定理第一课时
教科书 书 名：义务教育教科书数学八年级下册教材 出版社：人民教育出版社
教学目标
1. 理解勾股定理，初步应用勾股定理进行简单的计算； 2. 真正经历勾股定理的“再发现”过程和证明过程，体验从一般到特殊、类比、数形结合等思想方法，提升学习信心，提高直观想象、逻辑推理素养； 3.了解我国古代研究勾股定理的成就，激发民族自豪感；了解国外勾股定理的证明方法，开阔文化视野。
教学内容
教学重点： 1. 勾股定理的发现过程；
2. 勾股定理的证明过程。
教学难点： 1.亲身经历赵爽弦图的创制过程，顺其自然地“再发现”勾股定理。
教学过程
引言：直角三角形是一个角为90的特殊三角形，它有哪些性质呢？我们从角的关系、边的关系、边角关系进行研究. 一、回顾旧知 问题1 直角三角形的三个角有什么等量关系？ 师生活动：直角三角形是一个角为90的特殊三角形.在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A +∠B=90°，即直角三角形的两个锐角互余. 追问：直角三角形的三边之间有某种等量关系吗？ 设计说明：直角三角形的组成要素是边和角，直角三角形角的数量关系学生已经熟知，从知识的内部联系出发，从直角三角形的三个角的等量关系起问，再追问边的数量关系，自然合理. 二、探究一 问题2：我们先从最特殊的等腰直角三角形开始研究. 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=a，AB=c，试探究a与c之间的等量关系. 师生活动：等腰直角三角形有何性质？常用的辅助线是什么？从而作出AB边上的高CD（如图3），则AD=BD=CD，即CD=c. 由高联想到面积，建立等式：，即，所以有. 引导学生把结论表述为：等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 设计说明：研究直角三角形三边之间的关系，先从最特殊的等腰直角三角形开始研究，再到一般情况，符合认知规律. 问题2源自人教版勾股定理前一章二次根式中的一道习题：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=a，求AB的长.（提示：作出AB边上的高，借助△ABC的面积求解.）原题是求等腰直角三角形斜边的长，问题2是探究等腰直角三角形三边之间的等量关系，两问题本质相同，探究过程如出一辙，因此，问题2学生容易解决. 追问：由、你能联想到什么？ 师生活动：以数想形，启发学生由结论中的、联想到以a、c为边长的正方形面积. 以形描数. 问题3：能否用两个边长为a的小正方形拼成一个边长为c的大正方形？ 师生活动：拼成大正方形的关键是在小正方形中找到大正方形的边长c. 而c是Rt△ABC（图2）的斜边，因此，要在小正方形中找到与已知Rt△ABC（图2）全等的三角形. 如图4，把两个正方形分别沿对角线剪开，得到四个全等的等腰直角三角形，拼在一起，即得到一个边长为c的大正方形. 由两个小正方形的面积和与大正方形的面积相等，得. 最后提炼活动经验：把两个边长为a的小正方形分割成与已知Rt△ABC （图2）全等的四个直角三角形，即可拼成一个边长为c的大正方形. 设计说明：通过操作，把两个相等的正方形剪拼成一个大正方形，从形的角度进一步验证了结论. 引领学生及时提炼活动经验，为下面验证打下基础. 三、探究二 问题4：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b,AB=c（图1）.试猜想a、b、c之间的等量关系并证明. 师生活动：类比等腰直角三角形三边之间的等量关系：，猜想一般直角三角形三边之间的等量关系为：. 类比图4，尝试从边长为a、b的两个正方形中剪出四个与已知Rt△ABC（图1）全等的直角三角形. 把两个正方形如图5（1）并在一起，尝试在EM上截取ED=a，则DM=b，则Rt△HED ≌Rt△DMN ≌Rt△ACB，如图5（2），作DQ⊥HG，如图5（3）,延长NP交DQ于点R，这样就把边长分别为a、b的两个正方形分割成四个全等的直角三角形及一个小正方形PGQR . 移动Rt△HED 和Rt△DMN（如图5（4）），得到一个边长为c的正方形. 由图5（1）与图5（4）的面积相等，得. 图5 四、勾股定理历史文化 向学生介绍勾股定理及赵爽弦图. 赵爽利用弦图利用割补拼图的方法，简洁优美地证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，同学们的证法与赵爽的思路极为相似，鼓舞学生对数学的钻研精神和敢于挑战困难的勇气.在西方，人们把勾股定理称为毕达哥拉斯定理。 设计说明：运用类比思想，经历了赵爽弦图的创制过程及勾股定理的再发现过程，体会以形证数思想，发展直观想象与逻辑推理素养，增强学习数学的信心. 五、勾股定理的证明 问题5：你能只用图5（4）推导勾股定理吗？ 师生活动：观察赵爽弦图的特征：它是一个以c为边长的正方形，同时它由4个以a、b为直角边，c为斜边的直角三角形及边长为b-a的小正方形构成. 列出等式：,化简得. 设计说明：相对于问题4中的“割补证法”，问题5中的证法为赵爽的“代数证明”，后者是前者的延伸，意在体会以数解形思想，加深对赵爽弦图和勾股定理的认识. 问题6. 相传毕达哥拉斯用下面两幅图证明了勾股定理，你能证明吗？ 师生活动：∵S左＝ S右 ＝， S左- 4S三角形＝S右 - 4S三角形 . 六、勾股定理的初步应用 1.设直角三角形两直角边分别为斜边为 （1）已知 （2）已知 (1)解：在直角三角形中，根据勾股定理， =8. (2)答案：13 2.若直角三角形的两边长分别为3和4，求第三条边的长. 解：在直角三角形中，根据勾股定理， 当4是直角边时，第三边的长为：=5. 当4是斜边时，第三边的长为：=. 因此，第三边的长是5或. 归纳：在直角三角形中，已知两边可求第三边. 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，则正方形E的面积是 . 答案：625 七、课堂小结 1.本节课学习了什么知识？ (1)勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为斜边为. (2)勾股定理反映了直角三角形三边之间的等量关系，它是直角三角形的性质。 (3)在直角三角形中，已知两边应用勾股定理可以求出第三边。 2、我们怎样探究勾股定理的？运用了哪些数学思想方法？ 等腰直角三角形 从特殊到一般 一般直角三角形 数 数 形 形 结 结 合 合 类比 八、布置作业 必做题 1.在赵爽弦图的基础上，构造出以a+b为边长的正方形，证明勾股定理； 2.课本习题17.1第1题、第2题、第3题. 选做题 1.在以a、b为边长的正方形中，你还有其它方法将它切割拼接成一个大正方形吗？选择一种证明勾股定理； 2.查阅勾股定理的有关知识及证明方法. 设计说明：以课堂为根基，将探索拓展到课外. 赵爽割补证法的关键是：在两个并在一起的正方形中构造出大正方形的边长，以此为抓手布置作业，鼓舞学生自己发现一种勾股定理的证明方法，培养学生的钻研精神和创新能力.

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