资源简介

2.3.2用公式法求解一元二次方程
一、教学目标
1. 通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，增强应用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法；
2. 通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性.
二、教学重难点
重点：在实际问题中寻找等量关系，建立方程，利用公式法解方程.
难点：根据实际问题，设计灵活多变的解决方案.
三、教学方法
本课时教学内容主要是通过对实际问题的分析，进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型，培养学生在生活中发现问题、解决问题的能力.
本节课首先提供了具体的情境，然后在具体的情境中逐步地展开对列方程解决实际问题的步骤探讨，最后通过练习加以巩固.
在课堂教学中，通过提供适当的问题情境或实例促使学生反思，引起学生必要的认知冲突，从而让学生最终通过其主动的思辨构起新的认知结构.
四、教学设计
（一）复习回顾
公式法解方程的步骤
1.变形:化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a，b，c写出各项系数;
3.计算：b2－4ac的值;
4.判断：若b2－4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2－4ac<0，则方程没有实数根.
（二）问题探究
在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗 学生思考，与同桌进行交流.
下面给出一些设计方案，我们一起来看一下:
1.小明的设计方案如图1所示，其中花园四周小路的宽度都相等.
图1
解：设小路的宽为x m， 根据题意得：
即 x2－14x + 24 = 0.
解方程得x1 = 2，x2 = 12.
将x =12 代入方程中不符合题意舍去.
答：小路的宽为2 m.
2.小亮的设计方案如图2所示，其中花园每个角上的扇形都相同.
(1)你认为小明的结果对吗 为什么
(2)你能帮小亮求出图2中的x吗
(3)你还有其他设计方案吗 与同伴交流.
图2
解：设扇形半径为x m， 根据题意得：
即 πx2 = 96.
解方程得 x1 = ， x2 = (舍去)，
答：扇形半径约为5.5 m.
3.小颖设计：如右图所示. 其中花园是两条互相垂直的小路，且它的宽都相等.
解：设小路的宽为 x m， 根据题意得：
即 x2 － 28x + 96 = 0.
解方程得 x1 = 4 ， x2 = 24，
将x =24 代入方程中不符合题意舍去
答：小路的宽为4 m.
（三）典例解析
例1：如图，在一块宽为20 m， 长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽为多少？
解：设道路的宽为x m
方法二：
解：设道路的宽为 x m
(32－x)(20－x)=540
整理，得x2－52x+100=0
解得 x1=2，x2=50
当x=50时，32－x=－18，不合题意，舍去.
∴取x=2
答：道路的宽为2 m.
学生小组合作解决，小组拿出方案后，全班交流.结合方案设计训练，让学生不断探究，寻找问题的突破口，从而学会用公式法解决简单应用问题的方法，增强解决实际问题的能力.
例2：如图：要利用一面墙（墙长为25 m）建羊圈，用100 m的围栏围成总面积为400 m2的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？
解：设AB长是x m.
(100－4x)x=400
x2－25x+100=0
x1=5，x2=20
x=20，100－4x=20<25
x=5，100－4x=80>25 x=5(舍去)
答：羊圈的边长AB和BC的长各是20 m，20 m.
（四）课堂演练
1. 在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（ B ）
A．x2+130x－1400=0 B．x2+65x－350=0
C．x2－130x－1400=0 D．x2－65x－350=0
2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5 cm的小正方形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x cm，则有长为2x cm
5(2x－10)(x－10)=3000
x2－15x－250=0
解得 x1=25 x2=－10(舍去）
所以 2x=50
答：铁板的长50 cm，宽为25 cm.
（五）课堂小结
1.用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程
一审、二设、三列(列代数式、列方程)、四解、五验、六答.
2.一元二次方程根的判别式与一元二次方程根之间有什么关系
（六）布置作业
教材第44页习题2.6第1，2题.
五、板书设计
2.3.2　用公式法解一元二次方程的应用
1.创设情境 小明: 小亮: 小颖: 2.例题 3.课堂练习 4.小结
六、教学反思
本节课的内容主要通过对实际问题的分析，进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型，培养学生在生活中发现问题、解决问题的能力.整节课的设计关注生活的实用性，体现了“数学和生活的密切联系”.
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