资源简介

2.6.1应用一元二次方程
一、教学目标
1.掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性.
2.理解将实际问题抽象为方程模型的过程，并能运用所学的知识解决问题．
二、教学重难点
重点：列一元二次方程解决实际问题.
难点：理解实际问题中的变化的量，寻找正确的等量关系.
三、教学方法
本课时教学内容主要是通过对实际问题的分析，进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型，培养学生在生活中发现问题，解决问题的能力.
本节课首先提供了具体的情境，然后在具体的情境中逐步地展开对列方程解决实际问题的探讨，最后通过例题和练习加以巩固.
四、教学设计
（一）复习回顾
问题1：列方程解应用题的一般步骤是：
1.审：审清题意
2.设：设未知数，语句要完整，有单位的要注明单位；
3.列：列代数式，列方程；
4.解：解所列的方程；
5.验：是否是所列方程的解，是否符合题意；
6.答：答案也必需是完整的语句，注明单位.
问题2：列方程解应用题的关键是什么？
找出相等关系.
（二）问题探究
例1：如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile 处有一目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C. 小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点.一艘军舰沿A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.
(1)小岛D与小岛F相距多少海里
解：连接DF.∵AD=CD ， BF=CF，
∴DF是△ABC的中位线.
∴DF∥AB，且DF=AB，
∵AB⊥BC， AB = BC =200 n mile，
∴DF⊥BC， DF =100 n mile.
(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1海里)？
解： 设相遇是补给船航行了x n mile，那么
DE = x n mile ， AE + BE = 2x n mile，
EF=AB +BF－(AB + BE) =(300－2x)n mile.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2 = 1002 + (300－2x)2.
整理得： 3x2－1200x + 100000 = 0 ，
解方程得 （舍）
例2：如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm， BC=12 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2 cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64 cm2？
解：设所需时间为 t s，根据题意，得
2t (6－t) ÷2 = 6×12 － 64.
整理得 t2－6t+8 = 0.
解方程，得 t1 =2 ， t2=4 .
答：在第2秒和第4秒是五边形面积是 64 cm2.
例3：如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24 m.
(1)若围成的花圃面积为40 m2时，求BC的长；
(2)如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．
解：(1)设BC＝x m，则AB＝ m．根据题意，得
x·＝40.
整理，得x2－24x＋80＝0.
解得x1＝4，x2＝20.
∵20＞15，∴x2＝20舍去．
∴BC＝4 m.
(2)不能围成．理由：
设BC＝y m，则AB＝ m．根据题意，得
y·＝50.
整理，得y2－24y＋150＝0.
∵Δ＝(－24)2－4×1×150＝－24＜0，∴该方程无实数根．
∴不能围成面积为50 m2的花圃．
（三）归纳总结
（三）课堂演练
1．将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1 m的正方形后，剩下的部分刚好围成一个容积为15 m3的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的底面长比宽多2 m，求该矩形铁皮的长和宽各是多少米．若设该矩形铁皮的宽是x m，则根据题意可得方程为(　B　)
A．(x＋2)(x－2)×1＝15　 B．x(x－2)×1＝15
C．x(x＋2)×1＝15　 D．(x＋4)(x－2)×1＝15
2．一个直角三角形三边长是三个连续偶数，则这三条边的长分别为__6，8，10__，它的面积为__24___.
3．A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动，P、Q两点从开始出发__或_s时，点P和点Q的距离是10 cm.
4．如图，在Rt△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm.点M从点A出发，以每秒1 cm的速度沿AC方向运动；同时点N从点C出发，以每秒2 cm的速度沿CB方向运动，当点N到达点B时，点M同时停止运动．
(1)运动几秒时，△CMN的面积为8 cm2
(2)△CMN的面积能否等于12 cm2？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
解：(1)设运动t s后△CMN的面积等于8 cm2. 根据题意，得
CM＝6－t，CN＝2t，则S△CMN＝CM·CN＝×(6－t)×2t＝8.
解得t1＝2，t2＝4，故经过2 s或4 s后，△CMN的面积等于8 cm2.
(2)△CMN的面积不能等于12 cm2.理由：
S△CMN＝MN·CN＝×(6－t)×2t＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9，
则当t＝3时，△CMN的面积最大为9 cm2，
∴△CMN的面积不能等于12 cm2.
（五）课堂小结
1.用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程
[一审、二设、三列(列代数式、列方程)、四解、五验、六答]
2.用一元二次方程解决问题的关键是什么
(寻找题中的等量关系)
(设计意图：回顾列方程解应用题的过程，形成知识体系.)
（六）布置作业
教材第53页习题2.9第2，3题.
五、板书设计
2.6.1　应用一元二次方程 1.例题 2.练习 3.小结
六、教学反思
建构主义主张的教学方法，其核心是强调学习者是一个主动的、积极的知识构造者，教师的教学工作就是要从学生的实际出发，以深入了解学生真实的思维活动为基础，通过提供适当的问题情境或实例促使学生反思，引起学生必要的认知冲突，从而让学生最终通过其主动的思考建构起新的认知结构.
本节课的内容主要是对通过对实际问题的分析，进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型，培养学生在生活中发现问题、解决问题的能力.整节课的设计关系生活的实用性，体现了“数学和生活的密切联系”.
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