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5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式
一、教学目标
1. 了解待定系数法，会用二元一次方程组确定一次函数的表达式．
2. 会应用方程与函数的联系解决实际问题.
二、教学重难点
重点:二元一次方程组和对应的两条直线的关系;用二元一次方程组确定一次函数表达式.
难点:数形结合和数学转化的思想意识.
三、教法与学法
教法:通过启发、引导学生建立一次函数的模型,发现一次函数与二元一次方程组的关系.
学法:通过课堂讨论和练习掌握新知识.
四、教学过程
（一）复习回顾
1.(1)二元一次方程组与一次函数有何联系
(2)二元一次方程组有哪些解法
2.我们一起来试一试能否应用所学的一次函数与二元一次方程组的知识解决下列问题.
（二）问题探究
问题一：A,B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,则他们各自到A地的距离s(km)都是骑车时间t(h)的一次函数.1 h后乙距离A地80 km;2 h后甲距离A地30 km.问经过多长时间两人将相遇
你是怎样做的 与同伴进行交流.
教材图5-3
小明:可以分别作出两人s与t之间关系的图象(如教材图5-3所示),找出交点的横坐标就行了!
小颖:对于乙,s是t的一次函数,可以设s=kt+b,当t=0时,s=100;t=1时,s=80.将它们分别代入s=kt+b中,可以求出k,b的值,也即可求出乙的s与t的函数表达式.同样可以求出甲的s与t的函数表达式,再联立这个表达式,求解方程组就行了.
小亮:1 h后乙距离A地80 km,即乙的速度是20 km/h;2 h时后甲距离A地30 km,也即甲的速度是15 km/h,由此可以设同时出发后 h相遇，则15t+20t=100，
所以两人相遇需要的时间t==(h).
由此可以看出一道题可以用三种不同的方法来解:通过画图象来求解,用消元法解方程组,用一元一次方程的方法三种方法.
我们可以从本题看出二元一次方程和一次函数密切相关——这节课我们继续研究“二元一次方程和一次函数的关系”.
你明白他们的想法吗 用他们的方法做一做,看看和你的结果一致吗 小明的方法求出的结果准确吗
学生通过自主探究,交流讨论,可以达成下列意见:
小明的想法是:用图象法求解,两个函数图象的交点的横坐标就是他们相遇时的时间.由于在前一课时已经有了用作图象的方法解方程组的经验,因此画图象求解是较为自然的做法,但画图的结果多是近似值,难以精确.
小颖的想法是:用待定系数法确定甲、乙各自的s与t之间的函数表达式,再用消元法解方程组,能准确地求出结果.
小亮的想法是:根据行程问题中的相遇问题,找出等量关系列一元一次方程来解.
既然大家对他们的想法都有了一定的认识,你能说说,他们的想法的优缺点吗
学生在刚才讨论的基础上,可以达成一致的看法是:
小明想法的优点是:直观地获得问题的结果,使考虑问题的思路清晰,借助图象帮助我们寻找解题途径.缺点是:作图象的方法难以获得准确的结果.
小颖的想法,既利用了小明的想法的优点,又克服了其缺点.由此可见当遇到一次函数与二元一次方程有关的问题,要认真审清题意,必要时要借助数形结合,从图象信息确定一次函数表达式加强一次函数与二元一次方程的联系.
总结:用图象法可以直观地获得问题的结果,但是,有时难以准确;为了获得准确的结果,一般用代数法.
通过实际问题情景,进一步加强函数与方程的联系,让学生在用多种方法解决问题的思考和比较中,体会图象法与代数法各自的特点,在此基础上,掌握用待定系数法确定一次函数的解析式的方法.同时理解知识之间有着广泛的联系.
（三）典例解析
例1 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数．已知李明带了60 kg的行李，交了行李费5元；张华带了90 kg的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意，可得方程组
解得
所以
（2）当y=0时，.解得x=30
所以当x>30时，y>0.
答：旅客最多可免费携带30千克的行李．
归纳总结：
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1.设：用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b.
2.代：将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组.
3.解：解这个二元一次方程组得k，b.
4.求：进而求出一次函数的表达式.
例2 已知一次函数的图象过点（-1，3）与（2，-3），求这个一次函数的解析式．
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
把点（-1，3）与（2，-3）分别代入，得：
解方程组，得
所以这个一次函数的解析式为y=-2x+1.
（四）课堂演练
1.若直线 y=0.5x+n 与 y=mx-1 相交于点(1,-2),则（ ）
A.m=0.5，n=-2.5 B.m=0.5，n=-1
C.m=-1，n=-2.5 D.m=-3，n=-1.5
2.已知二元一次方程组的解是，在同一平面直角坐标系中，直线y=x﹣5 与直线 y=-x+1 的交点坐标为 ．
3.已知函数y=2x+b的图像经过点(a，7)和(-2，a)，则这个函数的表达式为____________.
4. 在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.当所挂物体的质量为1 kg时，弹簧长度为15 cm；当所挂物体的质量为3 kg时，弹簧长度为16 cm.写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.
5.判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．
（五）课堂小结
通过本节课的学习,你有什么收获
本节课主要学习了:
1.理解和掌握函数与方程之间的关系.
2.在解决实际问题时往往解法不唯一,可以尝试从不同角度思考问题,用不同的方法解决问题,拓展思维.
3.利用二元一次方程组(待定系数法)求一次函数表达式的一般步骤:
(1)用含字母的系数设出一次函数的表达式:y=kx+b(k≠0);
(2)将已知条件代入上述表达式中得含k,b的二元一次方程组;
(3)解这个二元一次方程组得k,b的值,进而得到一次函数的表达式.
（六）布置作业
教材习题5.8.
五、板书设计
5.7　用二元一次方程组确定一次函数表达式 1.二元一次方程与一次函数的关系 2.图象方法与代数方法各自的特点 3.利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤
六、教学反思
函数和方程都是描述客观世界变化规律的重要数学模型.本节课是研究二元一次方程(组)与一次函数及其图象在实际生活中的综合应用,这部分是本单元的难点.学生经历了对一道问题从不同的角度的探究思考,感受一道问题的不同的解决途径,拓展了思路,升华了解题思想和方法.学生从方程思想过渡到函数,同时用方程来解决函数问题,进一步提升了学生数形结合的意识和能力.
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