资源简介

1.3.1正方形的性质与判定
一、教学目标
1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理；
2．会利用正方形的性质进行相关的计算和证明．
二、教学重难点
重点：理解正方形的定义和性质．
难点：灵活地运用正方形的性质定理解决问题．
三、教学设计
（一）情境导入
如图(1)所示，把可以活动的矩形框架ABCD的BC边平行移动，使矩形的邻边AD，DC相等，观察这时矩形ABCD的形状．
如图(2)所示，把可以活动的菱形框架ABCD的∠A变为直角，观察这时菱形ABCD的形状．
图(1)中图形的变化可判断矩形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？图(2)中图形变化可判断菱形ABCD→特殊的四边形是什么四边形？经过观察，你发现既是矩形又是菱形的图形是什么四边形？
引入正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即：有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．
（二）探究新知
教师：正方形都具有哪些性质呢？
学生：由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质．
教师：你能详细说一说正方形的性质吗？
学生：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分．
由学生的回答归纳出：
正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等．
正方形的性质定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分．
教师：同学们能尝试完成这两个定理的证明吗？
学生独立完成，并相互交流，教师点评．
教师：正方形有几条对称轴？
学生思考或者画图验证．
思考　平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．
学生尝试画图，教师点评，并进一步讲解，课件出示如下图：
（三）典例解析
例1　如图，在正方形ABCD中，E为CD 边上一点，F为BC延长线上一点，且 CE ＝ CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
解：BE＝DF，且 BE⊥DF.理由如下：
(1)∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ BC＝DC，∠ BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)．
∴ ∠ DCF ＝ 180°－ ∠ BCE ＝ 180°－ 90°＝ 90°.
∴ ∠BCE ＝∠ DCF.
又∵ CE＝CF，
∴ △BCE≌△DCF.
∴ BE＝DF.
(2)延长 BE交DF于点M(如图)．
∵ △BCE ≌△DCF，
∴ ∠CBE＝∠CDF.
∵ ∠DCF＝90°，
∴ ∠CDF＋∠F＝90°.
∴ ∠CBE＋∠F＝90°.
∴ ∠BMF＝90°.
∴ BE⊥DF.
例2 如图，在正方形ABCD中， △BEC是等边三角形， 求证：∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵△BEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC，∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD， ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°－75°=15°.
例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
证明：连接PC，AC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FCE=90°， AC垂直平分BD，
∴AP=PC.
又∵PE⊥BC ， PF⊥DC，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF.
∴AP=EF.
（四）巩固提升
1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？
第1题图　　 第2题图
如图，在正方形ABCD中，点F为对角线BD上一点，连接AF，CF. 你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．
补充练习见课件
（五）课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？
（六）课外作业
教材第22页习题1.7第1～4题．
四、板书设计
正方形
五、教学反思
本节课教学的主要内容是探究并证明正方形的性质定理．教材只是提供了最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．让学生通过搜集材料亲自去感受数学在实际生活中的应用，体会数学的实际价值．培养学生善于观察生活、搜集数学信息、对信息进行整理的能力．
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