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2.1.2认识一元二次方程
一、教学目标
1．经历一元二次方程的解或近似解的探索过程，增进对方程解的认识；
2．会用“夹逼法”估算方程的解，培养学生的估算意识和能力．
二、教学重难点
重点：探索一元二次方程的解或近似解.
难点：培养学生的估算意识和能力.
三、教学方法
本课时设计的教学内容主要是一元二次方程的解的估算.
在课堂教学中，可先从具体的背景出发，激发学生的学习兴趣，体会一元二次方程的解的估算方法，然后通过例题和练习进一步巩固对估算的理解.
四、教学设计
（一）复习回顾
问题1：一元二次方程有哪些特点？
① 只含有一个未知数；
②未知数的最高次项系数是2；
③整式方程
问题2：一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 +bx + c = 0(a，b，c为常数，a≠0)
（二）概念解析
一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
练习：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解 －4 ，－3 ，－2 ，－1 ，0 ，1，2，3 ，4
解：3和－2.
（三）问题探究
问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8－2x)(5－2x)= 18，你能求出这个宽度吗？
（1）x可能小于0吗 说说你的理由．
（2）x可能大于4吗 可能大于2.5吗
（3）完成下表：
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗 还有其他求解方法吗 与同伴进行交流．
问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程 x2 +12 x－ 15 = 0.
(1) 小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？
(2) 底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？
下面是小亮的求解过程：
可知x取值的大致范围是:1< x <1.5. 进一步计算：
所以1.1＜x＜1.2，因此x整数部分是1 ，十分位部分是1．
（四）归纳小结
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值；
②根据题意所列的具体情况再次进行排除；
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
（五）课堂演练
1．下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是(　　)
A．x2－2x＋3＝0　 B．x2－3x＋2＝0
C．x2－2x－3＝0　 D．x2＋3x－2＝0
2．已知x＝2是一元二次方程x2－bx＋6＝0的解，则b的值为(　　)
A．－5　 B．5　　 C．4　 D．－4
3．根据下面的表格，确定方程x2－8x＋7.5＝0的一个解的取值范围是_1.0< x <1.1_.
x 1.0 1.1 1.2 1.3
x2－8x＋7.5 0.5 －0.09 －0.66 －1.21
4．通过填表求出方程x2－2x－3＝0的根：
x －2 －1 0 1 2 3
x2－2x－3 5 0 －3 －4 －3 0
所以，方程x2－2x－3＝0的根是__x1＝－1，x2＝3_.
5.请求出一元二次方程x2－2x－1＝0的正数根(精确到0.1)．
解析：先列表取值，初步确定正数根x在哪两个整数之间，然后再用类似的方法逐步确定出x的近似正数根．
解：(1)列表，依次取x＝0，1，2，3，…
x 0 1 2 3 …
x2－2x－1 －1 －2 －1 2 …
　　由上表可发现，当2＜x＜3时，－1＜x2－2x－1＜2；
(2)继续列表，依次取x＝2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，…
x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 …
x2－2x－1 －0.79 －0.56 －0.31 －0.04 0.25 …
　　由上表可发现，当2.4＜x＜2.5时，－0.04＜x2－2x－1＜0.25；
(3)取x＝2.45，则x2－2x－1≈0.1025.
∴2.4＜x＜2.45，∴x≈2.4.
方法总结：
(1)利用列表法估算一元二次方程根的取值范围的步骤是：首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)分别计算ax2＋bx＋c的值，在表中找到使ax2＋bx＋c可能等于0的未知数的大致取值范围，然后再进一步在这个范围内取值，逐步缩小范围，直到所要求的精确度为止．
(2)在估计一元二次方程根的取值范围时，当ax2＋bx＋c(a≠0)的值由正变负或由负变正时，x的取值范围很重要，因为只有在这个范围内，才能存在使ax2＋bx＋c＝0成立的x的值，即方程的根．
（六）课堂小结
五、板书设计
2.1.2认识一元二次方程 一元二次方程的解的估算，采用“夹逼法”： (1)先根据实际问题确定其解的大致范围； (2)再通过列表，具体计算，进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解．
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