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第5章 轴对称与旋转
5.1.2　轴对称变换
新知导入
右边的图案是由左边的图形经过怎样的图形变换得到的？这种图形变换有什么性质？
右边的图案是由左边的图形经过连续几次平移得到的.
新知探究
如图，用印章在一张纸上盖一个印（a），趁印迹未干之时，将纸张沿着直线l对折，得到印（b），随后打开，观察图形（a）与图形（b）有怎样的关系.
（a）
（b）
l’
新知探究
把图形(a)沿着直线l翻折并将图形“复印”下来得到图形(b)，就叫做该图形关于直线l作了轴对称变换，也叫轴反射.
（a）
（b）
l’
原像.
轴反射下的像
轴对称的概念
如果一个图形关于某一条直线做轴对称变换后，能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称.这条直线叫做对称轴.原像与像中能互相重合的两个点，其中一点叫做另一个点关于这条直线的对应点（对称点）.
(a)
(b)
对称轴
点A'叫做点A的对应点
想一想：下面成轴对称的每对图形有什么共同特点？
轴对称变换不改变图形的形状与大小.
长度，角度，面积等都不改变
A
A′
C
B
C′
B′
轴对称的性质
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点.
（1）线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？
A
B
C
A′
B′
C′
N
M
AA′⊥MN
BB′⊥MN
CC′⊥MN
2
1
轴对称的性质
（2）线段AD与A′D，BE与B′E，CF与C′F有什么数量关系？
A
B
C
A′
B′
C′
N
M
D
E
F
AD=A′D，BE=B′E，CF=C′F
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分
轴对称的性质
轴对称变换具有下述性质：
例如：长度（对应边） 、角度（对应角）
和面积等都不改变.
总结
轴对称变换不改变图形的形状与大小.
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分
┐
┐
┐
问题1：如何画一个点的对称图形？
例1 画出点A关于直线l的对称点A′.
作法：
（1）过点A作l的垂线，垂足为点O.
（2）在垂线上截取OA′＝OA.
点A′就是点A关于直线l的对称点.
﹒
l
A
A′
O
﹒
轴对称的作图
问题2：如何画一条直线的对称图形？
例2 已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段.
A
B
(图1)
(图2)
(图3)
A
B
l
l
A
l
A ′
A ′
A ′
B ′
(B ′)
B ′
B
O
轴对称的作图
问题3：如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？
例3 如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形.
A
B
C
分析：△ABC可以由三个顶点的位置确定，
只要能分别画出这三个顶点关于直线l的对
应点，连接这些对应点，就能得到要画的图形.
轴对称的作图
例3 如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形.
作法：（1）过点A画直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，A′就是点A关于直线l的对称点.
（3）连接A′B′，B′C′，C′A′，得到△ A′B′C′
即为所求.
（2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′ .
A
B
C
A′
B′
C′
O
归纳
轴对称作图方法：
（1）找点：
（2）作点：
连接对应点.
画出特殊点关于已知直线的对应点.
（3）连线：
确定图形中的一些关键点.
A
B
C
A′
B′
C′
如图，画出△ABC关于直线m的对称图形.
m
A
B
C
(A ′)
C ′
B ′
练习
我思 我进步
轴对称的概念
一
轴对称的性质
二
轴对称的作图
三
如果一个图形关于某一条直线作轴对称变换后，能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称。
轴对称变换不改变图形的形状与大小.
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分
（1）找点
（2）作点
（3）连线
轴对称图形 两个图形成轴对称
图形
区别
联系
一个图形.
两个全等图形.
1.沿着某条直线折叠后能重合.
2. ①把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；
②把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称.
一个汽车车牌在水中的倒影如图所示，你能确定该车的牌照号码吗？
哪一面镜子里是他的像？
一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把 2+3=8 变成一个真正的等式？”过了很长时间，也没有人答出，小兰很快解决了这道题目。你知道她是怎样做的吗？
谢 谢 ！5.1.2 轴对称变换
一、教材分析
轴对称变换为湘教版七年级下册第5章第1节第2课时的内容。本教材改变了传统教材对“轴对称”的内容安排，增加了“像”的概念，把传统教材中的“轴对称”加以延伸，用运动变换的角度去教学生考虑问题，这样较符合学生的认知特征，并通过生活中图形变换的现象，进一步丰富学生对轴对称的直观体验与理解，更贴近学生的生活实际。
学情分析
从心里特征来说，七年级的学生逻辑思维正从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展，但同时，这一阶段的学生好动 ，注意力易分散，需选取适当的教学资源，调动学生的学习积极性，引发学生的兴趣。同时，轴对称对学生来说比较熟悉，易接受。
三、教学设计
〔教学目标〕
1.通过现实生活中的具体情景认识轴反射，掌握轴对称、对称点、轴对称的对称轴的定义。
2.了解轴对称变换的性质，并能画出一个图形关于某一条直线成轴对称的图形。
3.体验运动思想、丰富想象能力、发展空间思维。
〔教学重点、难点〕
重点：探索轴反射，理解轴对称的性质.
难点：对轴对称性质的理解及轴对称与轴对称图形的区别与联系.
〔教学准备〕 教师：剪纸图片若干、三角板、圆规。
学生：白纸、三角板、直尺、圆规。
〔教学过程〕
教 学 过 程 设 计 说 明
一、新课引入 教师展示图片，请同学们观察下面图形的特点？ 二、新知探究 轴对称概念 观察：如图，用印章在一张纸上盖一个印a，趁印迹未干之时，将纸张沿着直线l对折，得到印b. 猜一猜，你能猜想出下列图形，经轴对称变换后所得的像吗？ 由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做轴对称变换，也叫反射变换。经变换后所得的新图形叫做原图形的像。 点A'叫做点A的对应点 2、请同学们齐读课本第二段，并说明这两个图形的位置关系 ①图形a和图形b关于这条直线l对称， ②图形a和图形b成轴对称. 随堂练习 例1.由左图变换至右图，其中属于轴对称变换的是（ ）（属于轴对称变化的请说出原像与像） 欣赏图片，陶冶情操，激起学生的兴趣，问题引入并让学生去动手、动脑、动口，达到了复习的目的，也达到了为新课铺垫的目的。 让学生动手，让其体验成功，对概念的学习，采用讲授法以达到准确的目的。 让学生去猜想，去感受轴对称的基本性质。
下列图案中，成轴对称的有 （ ） 轴对称性质 1、想一想：下面成轴对称的每对图形有什么共同特点？ 性质1：轴对称变换不改变图形的形状与大小.（长度，角度，面积等都不改变） 2、如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点. （1）线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？ （2）线段AD与A′D，BE与B′E，CF与C′F有什么数量关系？ AA′⊥MN，BB′⊥MN，CC′⊥MN AD=A′D，BE=B′E，CF=C′F 性质2：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分 随堂练习 图中的两个四边形关于某条直线对称，根据图中提供的条件求x、y. 解：x=AB=5, y=∠B=70° 例4. 如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A'B'C'D'E'F'.下列判断错误的是（ ） A. AB=A'B' B. BC//B'C' C. 直线l⊥BB' D. ∠A'=120° 轴对称概念 问题1：如何画一个点的对称图形？ 例1 画出点A关于直线l的对称点A′. 作法： （1）过点A作l的垂线，垂足为点O. （2）在垂线上截取OA′＝OA. 点A′就是点A关于直线l的对称点. 问题2：如何画一条直线的对称图形？ 例2 已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段. 问题3：如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？ 例3 如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形. ①学生分析讨论 ②尝试作图 ③师生共同完成 轴对称作图方法： （1）找点：确定图形中的一些特殊点. （2）作点：画出特殊点关于已知直线的对称点. （3）连线：连接对称点. 三、巩固运用 如图，画出△ABC关于直线m的对称图形. 让学生认识到数学的严密性，学会作轴对称变换后所得的像，并在学生讨论的基础上共同完成，穿插提问，让学生归纳出基本性质，这符合学生的认知特征。 讲解例题，让学生及时掌握新知识。 通过对问题设计，让学生合作探究，由浅入深，进而用事实论证，并在此基础上进行归纳总结，体现了处理问题的基本思路。 对小组的评价是鼓励性的，只要能说出结果就应予以肯定，这样能促进学生的合作态度，也使讨论更加有效。 学了新知识，就要及时地让学生去应用新知识，使学生更好地掌握。
四、归纳小结 可以让学生总结，教师加以提问补充。 本节课学了什么内容？你有什么收获？还有什么疑惑？ 布置作业 教材第118页习题5.1A组第3-5题 教师引导学生自主总结、归纳补充，教师适时地修正补充强调，这样能使新知识及时地纳入学生的认知结构。
设计思路：
本节课从现实生活出发，注重知识与实践的结合，让学生体会数学来源于实践，数学应用于实践，并让学生领会用“动”的思想去理解数学知识，使乏味的理性知识变得生动而有趣，这也符合学生的心理特征。
本着以培养学生的创新精神与实践能力，培养学生创造性思维为宗旨的前提下，促进数学教学模式和学习方式的变革，采用教师讲授，学生小组合作，自主探究的有效结合。让学生在不断发现知识，验证知识，应用知识的过程中，真正体验到创造过程本身的愉悦，并在这个过程中体会到数学的美。

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