资源简介

1．2.2　数轴
重点难点
教学重点：正确理解数轴的概念和用数轴上的点表示有理数．
教学难点：从直观认识到理性认识，从而建立数轴的概念，并初步体会数形结合的思想方法．
教学目标
1．理解数轴的概念，会画数轴．
2．知道如何在数轴上表示有理数，能说出数轴上表示有理数的点所表示的数；知道任何一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应；会利用数轴解决有关问题．
3．通过生活中的实例，由直观认识到理性认识，从而建立数轴概念；通过数轴概念的学习，初步体会对应、数形结合的思想方法，进而初步认识事物之间的联系性．
教材处理
本节将从生活中的实例入手，引导学生由直观认识到理性认识，自然建立数轴概念，进而探究数轴的画法、作用、数与点的对应关系．
教学方法
通过创设情境，以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索．整节课以观察、动手、思考、讨论贯穿于整个教学环节之中，采用启发式教学法和师生互动式教学模式，并教给学生“多观察、善动脑、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习方法．教学中给学生提供更多的活动机会和空间，使学生在动脑、动手、动口的过程中获得充足的体验和发展，从而培养学生的数形结合的思想．
方案一
一、创设情境，引入新课
问题1：在一条东西走向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3米和7.5米处分别有一棵柳树和一棵杨树；汽车站牌西3米和4.8米处分别有一棵槐树和一根电线杆．你能画图表示这一情境吗？
学生会画一条直线表示马路，并在直线的左、右侧分别标上西、东，在直线上取一点O表示站牌的位置，规定一个单位长度表示1米，于是点O的右边距离O点3个和7.5个单位的点A和点B，分别表示柳树和杨树的位置；点O的左边距离O点3个和4.8个单位的点C和点D，分别表示槐树和电线杆的位置．
问题2：怎样用数轴简明地表示这些树、电线杆与站牌的相对位置关系呢？(用数轴体现出方向、距离的不同)
规定从左向右表示由西到东，把点O左、右两边的数分别用负数和正数表示．由此可见，正数、0和负数可用一条直线上的点表示出来．
问题3：你还能举出生活中用直线上的点表示数的例子吗？
学生思考并讨论交流后可得出，例如：温度计、杆秤、门牌号码……可以通过多媒体课件展示温度计(显示不同的度数)，让学生体验读取温度，并比较各温度计上所显示的温度的高低，使学生充分体验和认识温度计的设计特点，让学生再次体会数与形的对应关系．
教学说明
根据学生的生活经验，学生在画图的过程中，能够认识到要描述马路上这三棵树、电线杆与站牌的相对位置关系，既要考虑距离，又要考虑方向；但由于学生刚刚学习有理数中的正、负数，对正、负数意义的理解不是很深刻，因此他们可能想不到用正、负来体现物体方向的相反，因此可以提出问题2加以引导，从而让学生认识到，我们可以用正数、0、负数来描述直线上点的位置，反过来，正数、0、负数可以用直线上的点来表示，借助于这一情境，让学生非常自然的初步感受到数与形的结合．问题3的设计让学生再次体会数与形的对应关系，为数轴的引出作好充分的准备．
二、合作交流，探索新知
1．引入数轴概念
设计说明
由直观认识到理性认识，引导学生建立数轴概念．
通过上面的问题，我们知道正数、0和负数可用一条直线上的点表示出来．一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”．通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．
2．揭示数轴内涵
设计说明
让学生在动手操作中探索数轴的三要素．
问题：表示含数的直线(数轴)需具备什么条件，才能将不同的数用它上面的点清楚地表示出来呢？你能试着画出满足条件的数轴吗？
可以先让学生试着画出自己想象的数轴，并把学生不同的画法展示出来，让学生先讨论交流哪种画法最规范，然后师生共同分析归纳得出数轴的特征．(边总结边画图)
(1)数轴是一条直线(习惯上将它画成水平，也可根据需要画成倾斜或竖直的)．
(2)数轴三要素：
①原点(可取直线上任一点作为原点，一但取定就不再改变．它表示数0，是正、负数的分界点)；
②正方向(通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向)；
③单位长度(选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3，…；从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－3，….单位长度的长短，可根据实际情况而定，但同一单位长度所表示的量要相同)．
由此我们也可以说：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
练习：下列图形哪些是数轴？哪些不是？为什么？
设计说明
本环节分四步进行，学生先尝试画数轴，再讨论交流．师生共同分析总结，揭示数轴内涵，最后练习识别，深化理解．根据前面的活动经验，学生对数轴有了初步的感知，但由于学生知识和思维特点的局限，大部分学生可能画不出规范的数轴，有的可能缺少原点，有的可能缺少正方向，有的可能缺少单位长度，也有的可能将数轴画成线段或射线，甚至更离谱，但是不同的答案，不同的错误，恰是激发学生求知欲的动力，这可以增强学生参与学习的主动性，可以让学生更加关注比较分析的过程．同时，也让学生深刻地认识到数轴为什么必须具备三个要素，缺一不可，这样更容易让学生接受、理解、记忆．有时候简单的说教所达到的效果并不显著，所以，设置一些典型的错误画法让学生辨别及时纠错、深化理解，效果就好得多了．
3．画数轴，表示数
设计说明
教师通过设置问题串，层层递进，在引导学生思考、层层释疑的基础上，归纳一般结论．
问题1：画一条数轴．(规范学生的画法，真正掌握数轴的要领)
问题2：在你画的数轴找出表示－2，＋2,0，＋5，－4的点，分别注上字母A、B、C、D、E，并说明你是怎样找的？
学生：表示－2的点在原点的左边，距离原点2个单位长度，表示2的点在原点的右边，距离原点2个单位……
问题3：分数(或小数)也可用数轴上的点表示吗？你能在你画的数轴上找出表示6.5和－的点吗？怎么找？
学生：表示小数6.5的点，在原点右侧距离原点6.5个单位长度；表示分数－的点，在原点左侧距离原点个单位长度．
问题4：在你画的数轴上能找到表示10 000和的点吗？
学生思考、交流，教师鼓励学生大胆猜想、积极阐述自己的想法，深化对数轴概念的认识，这样做可引导学生进行抽象的思维活动，使学生从直观认识上升到理性认识．
由此可得出：所有的有理数都可以在数轴上找到唯一确定的点表示．
问题5：观察数轴上表示正数的点有什么特征，表示负数的点呢？它们到原点的距离分别是多少？由此你能得出什么结论？
教师引导学生讨论、归纳：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度．
教学说明
本环节设计的问题，引导学生经历了从画数轴到如何用数轴上点表示有理数进而认识所有的有理数都可以在数轴上找到唯一确定的点表示．首先让学生动手画数轴，在巩固数轴画法的同时，为学生在数轴上表示有理数作准备，在数轴上找到表示问题2、3中的整数和分数的点，对学生来说并不难，但因缺乏理性方法的指导，很多学生实际是凭感觉找，因此在教学的过程中要注意让学生用语言来描述找对应点的过程，在锻炼学生明理、说理的同时，让学生先从具体数据上感知如何在数轴上表示有理数，为总结一般结论作铺垫．在教学的过程中还要特别强调将表示的数用实心点表示在数轴上．
三、巩固提高，熟练技能
设计说明
通过形式不同的练习，从不同的角度帮助学生进一步加深对数轴的认识，形成初步技能．
1．课本第9页练习第1、2、3题．
2．(1)画一条数轴，并表示出如下各点：±0.5，±0.1，±0.75；
(2)画一条数轴，并表示出如下各点：1 000,5 000，－2 000；
(3)在数轴上标出到原点的距离小于3的整数；
(4)在数轴上标出－5和＋5之间的所有整数．
教学说明
练习1是基础性训练，主要是进一步巩固如何在数轴上表示有理数，并能说出数轴上表示有理数的点所表示的数；练习2有所加深，在巩固基本知识的同时，还要关注到画数轴时要根据已知数适当地选择单位长度和原点的位置，这对初学者来说有一定的难度，因此，在学生独立尝试的基础上，还可以让学生进行交流，互相学习，教师也可以适时地进行点拨．
四、总结反思，情意发展
1．什么是数轴？
2．如何画数轴？
3．如何在数轴上表示有理数？
五、布置作业
1．课本第14页习题1.2第2题．
2．指出下面数轴上A、B、C、D各点所表示的数．
3．数轴上的点P与表示有理数3的点A的距离是2.
(1)试确定点P表示的有理数；
(2)将点A向右移动2个单位到点B，点B表示的有理数是多少？
(3)再把点B向左移动9个单位到点C，则点C表示的有理数是多少？
教学说明
及时布置作业是巩固课堂学习知识的重要环节，由于课本提供练习较少，因此作适当的补充，同时也为下节课的学习作铺垫．
六、拓展练习
1．某地区早晨测量的温度是3 ℃，中午再测量时发现温度上升了4 ℃，晚上测量时比中午下降了8 ℃，问晚上的气温是多少度？
可画一条数轴，用运动的观点观察上升和下降问题，得到晚上的温度为－1 ℃.
2．数轴上与表示－2的点距离是4个单位长度的点有几个？它们分别表示什么数？
在数轴上，与已知点距离相等的一定有两个，它们分别位于该点的左右两边，这两个数分别是－6和2.
教学说明
设计本练习旨在关注学生对数轴上两点距离的理解和对数轴的整体认识．
数轴是数形结合的重要媒介，也是学生难以理解的一个难点，对学生来说，将数和形结合在一起是非常抽象的，因此，教学过程从贴近学生的实际出发，学生易于体验和接受．让学生通过观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程，加深对数轴概念的理解，同时培养学生的抽象和概括能力，也体现了从感性认识到理性认识到抽象概括的认识规律．
教学过程突出了情境——抽象——概括的主线，体现了从特殊到一般的研究问题的方法，注意从学生已有的知识经验出发，充分发挥学生的主体意识，让学生主动参与到学习活动之中，并引导学生在课堂上感悟知识的生成、发展与变化，培养学生自主探索的精神．
设计者：许爱农
方案二
一、创设情境，引入新课
1．用弹簧秤称物体的质量，说明弹簧秤的制作方法
设计说明
通过制作弹簧秤的演示，使学生明白数与形的对应关系，初步认识数形结合的美妙之处．
教师演示弹簧秤称物体质量，提出问题：你知道怎样制作一个弹簧秤吗？学生观看教师演示，并与同学交流各自制作弹簧秤的方法．
2．观察温度计，体会数与形的对应关系
教师和学生共同观察温度计，说明数与形的对应关系．
设计说明
通过观察弹簧秤和温度计，找出它们之间的异同，为学习数轴的概念埋下伏笔．
3．画图观察，再次体会数与形的对应关系
在一条东西走向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3米和7.5米处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西3米和4.8米处分别有一棵槐树和一根电线杆，你能画图表示这一情境吗？
学生画图表示(两名同学板演)．
学生会画一条直线表示马路，并在直线的左、右侧分别标上西、东，在直线上取一点O表示站牌的位置，规定一个单位长度(线段OA的长度)表示1米，于是在点O的右边，距离点O3个和7.5个单位的点B和点C，分别表示柳树和杨树的位置，点O的左边与点O距离3个和4.8个单位的点D和点E分别表示槐树和电线杆的位置．
请同学们思考：怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系(用数体现出方向、距离的不同)
教师引导学生观察、比较．
设计说明
通过学生的活动，让学生认识到：对于东西走向的马路上一些树、电线杆与站牌的相对位置关系，既要考虑距离，又要考虑方向，从而需要用正、负数描述．这样，把正数、0和负数用一条直线上的点表示出来．
二、探索新知，得出结论
1．数轴概念的引入
设计说明
由直观认识到理性认识，引导学生建立数轴概念．
通过上面的问题，我们知道正数、0和负数可用一条直线上的点表示出来．一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”．通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．
教师讲解，学生理解．说明数轴满足以下要求：
(1)在直线上任取一点表示数0，这个点叫做原点；
(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；
(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3，…，从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－3，….
教学说明
概括出数轴的三要素，使学生准确地把握数轴的概念．
2．画数轴
设计说明
让学生动手画数轴、交流、反思，使学生真正掌握数轴的概念．
请学生画数轴，并互相交流，教师参与交流，使学生搞清楚如何画数轴，让学生意识到数轴的三要素：原点、正方向和单位长度．
3．丰富数轴的内涵
分数或小数也可以用数轴上的点来表示，例如从原点向右6.5个单位长度的点表示小数6.5，从原点向左个单位长度的点表示分数－.(教师讲解，学生在自己所画的数轴上表示)
练习：在所给的数轴上画出表示下列各数的点：
2、－5、0、－3、＋3.5、－.
分析：第一步画数轴，第二步在数轴上找出相对应的点，每个正有理数都可用数轴上原点右边的一个点来表示，例如2、3.5，可用数轴上分别位于原点右边2个单位、3.5个单位的点表示，每一个负有理数都可用数轴上原点左边的一个点来表示．
解：
设计说明
给出数轴后，所有的有理数都可以用数轴上的点表示．
4．归纳
引导学生观察数轴上点的特点，数轴上表示数3的点在原点的右边，与原点的距离是3个单位长度；表示数－4的点在原点的左边，与原点的距离是4个单位长度．
教师引导学生归纳：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的________边，与原点的距离是________个单位长度；表示数－a的点在原点的________边，与原点的距离是________个单位长度．
教学说明
通过从特殊到一般的方法归纳出数轴上点的特点，逐步培养学生的抽象概括能力．
三、巩固提高，熟练技能
设计说明
通过不同形式的练习，从不同的角度帮助学生进一步加深对数轴的认识，形成初步技能．
1．下列各图中，表示数轴的是(　　)．
2．下列各语句中，错误的是(　　)．
A．数轴上，原点位置的确定是任意的
B．数轴上，正方向可以是从原点向右，同时也可以是从原点向左
C．数轴上，单位长度1的确定，可根据需要任意选取
D．数轴上，与原点的距离等于36.8的点有两个
3．画出数轴，在数轴上画出表示下列各数的点：
2，－2，0，，－0.5.
4．指出数轴上的A、B、C、D、E所表示的有理数：
5．数轴上原点左边的点表示________数，原点右边的点表示________数，________表示零．
6．数轴上表示－3的点与原点的距离是________个单位长度；数轴上与原点相距3个单位长度的点有________个，它们表示的数是________．
7．一个点从数轴上表示－1的点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动5个单位长度，说明最后到达的点所表示的数．
答案：1.D　2.B　3.(略)
4．A点表示数－5；B点表示数－3.5；C点表示数0.5；D点表示数2；E点表示数3.5；
5．负　正　原点
6．3　两　－3和＋3
7．表示的数是0.
四、总结反思，情意发展
1．什么是数轴？
2．如何画数轴？
3．如何在数轴上表示有理数？
五、布置作业
1．指出下面数轴上A、B、C、D各点所表示的数．
2．画数轴并表示下列有理数：
1．5，－2,2，－2.5，－，0.
3．判断：数轴上表示＋m的点一定在原点的右边．(　　)
教学说明
及时布置作业是巩固课堂学习知识的重要环节，由于课本提供练习较少，因此作适当的补充．同时也为下节课的学习作铺垫．

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