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第04讲 乘法运算定律推广到分数
【知识梳理】
1、分数混合运算和简便计算。
（1）分数混合运算的运算顺序和整数混合运算的运算顺序相同，都是没有括号的，先算乘除法，再算加减法；有括号的先算括号里面的。
（2）整数乘法的交换律、结合律和分配律对于分数乘法同样适用。
【典型例题】
例1
两根木棒共长63米，第一根用去它的，第二根用去后余下它的，两根木棒一共用去________米。
【分析】
第一根用去了×第一根木棒长，第二根用去了×第二根木棒长，据此解答。
【详解】
×第一根木棒长＋×第二根木棒长
＝×第一根木棒长＋×第二根木棒长
＝×（第一根木棒长＋第二根木棒长）
＝×63
＝18（米）
解答本题关键在于求出第一根和第二根都用去了各自长度的，用乘法分配律表示出一共用去的。
例2
某洗衣机厂五月份计划生产洗衣机504台，实际上半月完成了，下半月完成了，这个月实际生产洗衣机多少台？
【分析】
我们把计划的生产量看成单位“1”，先求上下半月生产的对应分率和，再用单位“1”的量乘上全月对应分率和就是实际生产的台数。
【详解】
504×（＋）
＝504×
＝616（台）
答：这个月实际生产了洗衣机616台。
找出单位“1”，看实际的是单位“1”的几分之几，进而求出实际的量。
例3
“十一国庆”过后，快递小张10月9日上午送快递73件，下午送快递155件，如果平均送一件快递要分钟，小张这一天工作了多长时间？
【分析】
首先用快递员小张11月9日上午送快递的数量加上下午送快递的数量，求出小张这一天一共送快递多少件；然后用它乘平均送一件快递要用的时间，求出小张这一天工作了多长时间即可。
【详解】
（分钟）
答：小张这一天工作了798分钟。
此题主要考查了分数乘法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是求出小张这一天一共送快递多少件。
【过关检测】
一、选择题
1．下列各式中，第（ ）式与的值不相等。
A． B． C．
2．这里运用了（ ）。
A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律
3．（5x）错写成5（x），结果比原来（ ）。
A．多 B．少 C．多 D．少
4．下面各式中，与不相等的式子是（ ）。
A． B． C． D．
5．一根绳子，第一次用了全长的，第二次用了剩下的，还剩下全长的（ ）。
A． B． C． D．
二、填空题
6．计算，运用了乘法( )律；计算，运用了乘法( )律。
7．小明在计算×（ －8）时，错看成了× －8，他得到的结果比正确结果少( )。
8．生产一批玩具，甲厂单独做需12天，乙厂单独做需18天。甲乙合作3天，完成了这批玩具的( )。
9．一堆煤共10吨，第一次运走了，第二次又运走了吨，两次共运走了( )吨，还剩( )吨。
10．一根12米长的铁丝增加它的后，再减去米，是( )米。
三、计算题
11．用自己喜欢的方法计算。
（1）18.8－－ （2）36×（－）
（3）125×4×0.8×2.5 （4）59×
四、解答题
12．学校有故事书385本，科技书的本数比故事书多，学校有科技书多少本？
13．学校新添置了450本图书，五年级分得这些图书的，六年级分得这些图书的，五、六年级共分得图书多少本？
14．粮店运来吨大米，运来的面粉是大米的。粮店运来面粉和大米一共有多少吨？
15．一个长方形长是米，宽是米，它的周长是多少米？
参考答案
1．B
【分析】根据分数乘法以及四则混合运算的顺序，分别计算出所有算式的结果，然后再进行判断即可。
【详解】＝
A．
＝
＝
＝
B．
＝
＝
＝
C．
＝
＝
＝
所以三个算式中，与的值不相等的是。
故答案为：B
本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
2．C
【分析】乘法交换律：；乘法结合律：；乘法分配律：。先把87拆为（86＋1），即＝，符合乘法分配律的左边，利用乘法分配律去括号，即＝。
【详解】A．，没有交换因数的位置，不符合乘法交换律。
B．，没有出现因数结合，不符合乘法结合律。
C．＝＝，符合乘法分配律的结构特征，运用了乘法分配律。
故答案为：C
解决此题的关键是明确乘法分配律的结构特征。运用简便方法计算时，一定要仔细观察算式的结构及数的特点。
3．C
【分析】乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别和这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。公式是：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。据此把5（x）展开，然后与原来的式子相减即可判断相差多少。
【详解】5（x）－（5x）
＝5x5x
＝
＝
结果比原来多。
故答案为：C
此题主要考查了乘法分配律的应用，要熟练掌握。
4．A
【分析】＝，逐项计算出各式的得数进行比较即可解答。
【详解】A．
＝（）×6
＝1×6
＝6
此式子与不相等；
B．
＝×6
＝
此式子与相等；
C．
＝×（6－1）
＝×5
＝
此式子与相等；
D．＝，此式子与相等。
故答案为：A
根据分数四则运算的法则和分数乘法运算律，正确计算各式的得数是解题的关键。
5．B
【分析】把这根绳子的全长看作单位“1”，第一次用了全长的，则还剩下全长的（1－）；
第二次用了剩下的，是把剩下的长度看作单位“1”，即第二次用了（1－）的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出第二次用了全长的几分之几；
根据减法的意义，用“1”减去第一次、第二次用了全长的分率，即是还剩下全长的几分之几。
【详解】第二次用了全长的：
（1－）×
＝×
＝
还剩下：
1－－＝
还剩下全长的。
故答案为：B
关键是把第二次用了剩下的，转化成第二次用了全长的几分之几是解题的关键。
6． 交换 结合
【分析】乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，它们的积不变。据此解答。
【详解】计算，运用了乘法交换律；计算，运用了乘法结合律。
此题主要考查整数的运算定律同样适用于分数乘法。
7．3
【分析】根据分数乘法的分配律得到式子，再将化简后的式子减去错看成的式子，计算得出答案。
【详解】×（ －8）－（× －8）
＝× －×8－× ＋8
＝× －× －5＋8
＝8 5
＝3，即他得到的结果比正确结果少3。
本题主要考查的是分数的乘法运算，解题的关键是熟练掌握分数乘法运算法则，进而得出答案。
8．
【分析】先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”表示出甲厂和乙厂的工作效率，再根据“工作总量＝（甲厂的工作效率＋乙厂的工作效率）×合作天数”，即可求得。
【详解】假设工作总量为1。
甲厂的工作效率：1÷12＝
乙厂的工作效率：1÷18＝
（＋）×3
＝×3＋×3
＝＋
＝
所以，甲乙合作3天，完成了这批玩具的。
掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解答题目的关键。
9．
【分析】把这堆煤的总吨数看作单位“1”，第一次运走了总吨数的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出第一次运走的吨数，再加上第二次运走的吨数，即是两次一共运走的吨数；然后用总吨数减去两次一共运走的吨数，即是还剩下的吨数。
【详解】10×＋
＝＋
＝（吨）
10－＝（吨）
两次共运走了吨，还剩吨。
区分“”和“吨”的不同，前者不带单位名称，是分率；后者带单位名称，是具体的数量。
10．
【分析】把这根铁丝原来的长度看作单位“1”，增加后铁丝的长度＝原来铁丝的长度×（1＋），现在铁丝的长度＝增加后铁丝的长度－米，据此解答。
【详解】12×（1＋）－
＝12×－
＝15－
＝（米）
所以，现在这根铁丝的长度是米。
表示增加铁丝的长度占原来铁丝长度的分率，米表示减少铁丝的具体长度，注意二者的区别是解答题目的关键。
11．（1）17.8；（2）15；
（3）1000；（4）
【分析】（1）18.8－－，根据减法性质进行简算；
（2）36×（－），根据乘法分配律进行简算；
（3）125×4×0.8×2.5，根据乘法交换律和结合律进行简算；
（4）59×，将59转换为（58＋1），再根据乘法分配律进行简算。
【详解】（1）18.8－－
＝18.8－（＋）
＝18.8－1
＝17.8
（2）36×（－）
＝36×－36×
＝27－12
＝15
（3）125×4×0.8×2.5
＝（125×0.8）×（2.5×4）
＝100×10
＝1000
（4）59×
＝（58＋1）×
＝58×＋1×
＝19＋
＝19
12．462本
【分析】把故事书的本数看作单位“1”，科技书的本数相当于故事书本数的（1＋），根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法，用故事书的本数乘（1＋）即可求出学校有科技书多少本。
【详解】385×（1＋）
＝385×
＝462（本）
答：学校有科技书462本。
此题的解题关键是理解分数乘法的意义，掌握求比一个数多几分之几的数是多少的计算方法，从而解决问题。
13．280本
【分析】把添置图书的总本数看作单位“1”，五、六年级分得的图书本数占图书总本数的（＋），已知一个数，求这个数的几分之几是多少用分数乘法计算，五、六年级分得的图书本数＝图书总本数×（＋），据此解答。
【详解】450×（＋）
＝450×＋450×
＝100＋180
＝280（本）
答：五、六年级共分得图书280本。
本题主要考查分数乘法的应用，掌握分数乘法的意义是解答题目的关键。
14．吨
【分析】运来面粉的质量＝运来大米的质量×，再用加法计算运来面粉和大米的总质量，据此解答。
【详解】×＋
＝×（1＋）
＝×
＝（吨）
答：粮店运来面粉和大米一共有吨。
已知一个数，求这个数的几分之几是多少用分数乘法计算。
15．米
【分析】已知长方形的长和宽，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据计算即可。
【详解】（＋）×2
＝（＋）×2
＝×2
＝（米）
答：它的周长是米。
掌握长方形周长公式及应用是解题的关键。

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