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“学、教、练”式《认识无理数》教学设计
课题 2.1 认识无理数 主备人 xxx
教学时间 xxx 课型 新授课
教学目标 1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.了解无理数的概念及意义，会判断一个数是有理数还是无理数。
教学重点 了解无理数的概念及意义，会判断一个数是有理数还是无理数。
教学难点 证明一个数不是有理数。
教学内容 二次备课
一、知识回顾 1.一个整数的平方一定是整数吗？ 2.一个分数的平方一定是分数吗？ 二、课题引入 1.想一想：已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长的平方 ，并提出问题：是整数（或分数）吗？为什么？ 2．做中学 （1）做一做：把边长为1的两个小正方形通过剪、拼， 设法拼成一个大正方形。 议一议：若大正方形的边长是a，那a的值是多少？是一个是整数（或分数）吗？为什么？ 3.引入课题——无理数。 三、探究新知——无理数的概念 1.读一读：课本P22-23。 2.想一想：1.23223222322223、－5.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）、7÷11是有理数还是无理数？ 3.练一练（独立完成后组内核对答案并讨论存在的问题）：P24“随堂练习”。 4.说一说：你能写出哪些特殊的无理数？ 5.做一做：你能画出长度是无理数的线段吗？ 6.议一议：有理数与无理数的主要区别是什么？目前为止所学过的数可以分为几类？ 介绍无理数的发现。（附后） 五、课堂小结 1.无理数的概念。 2.无理数和有理数的区别。 布置作业 习题2.1 1 2 上课时间：
板书设计 2.1 认识无理数 无理数：无限不损环小数叫做无理数 常见的无理数： π －5.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）等
教学反思
无理数的发现 毕达哥拉斯的学生希伯斯，有一天，他画出一个两条直角边为1三角形，他想求出斜边的值，他试图找出一个数的平方是2的等价分数，最终他认识到根本不存在这个分数。 希伯斯在研究勾股定理时，发现了一种新的数，而这种数是不符合他老师的宇宙理论的。希伯斯发现，如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度就不能归结为整数或整数之比(应该等于，是一个无理数)也就是我们知道的。希伯斯对这发现，喜出望外，兴匆匆的去找他的毕老师分享这个喜悦，但是他的老师毕氏却不悦。 更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，而证明的方法─归谬法，又是毕达哥拉斯学派常用的。 因为毕氏已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他信念的怀疑。希伯斯经洞察力获致的成果一定经过了一段时间的论和深思熟虑，毕氏本应接受这新数源。然而，毕氏始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑推理推翻希伯斯的论证。使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希伯斯淹死。这是希腊数学的最大悲剧，只有在他死后无理数才得以安全的被讨论着。后来，欧几里德以反证法证明是无理数。而且是第一个无理数！ 沉重的打击 可以想象，毕达哥拉斯学派受到了多么沉重的打击。小小的竟然动摇了他们惨淡经营的宇宙理论。怎么办？毕达哥拉斯的可悲，在于他不敢正视这个新的数学问题，而是企图借助宗教信条来维护他的权威。他搬出学派的誓言，扬言要严惩敢于“泄密”的人。然而，真理从来就不是权力的奴仆，真理的声音是谁也封锁不了的。渐渐地，有一种新的数存在的消息传扬了开去。 这一发现实际上是推翻了教派原来的论断，触犯了这个学派的信条。他们不许希伯斯泄露存在（即无理数）的秘密，但是天真的希伯斯在无意中向别人谈到了他的发现。后来毕达哥拉斯教派为了维护教派的信条，以破坏教规为理由将希伯斯装进大口袋扔进了大海。希伯斯因为发现了“无理数”的存在，为揭示了一个科学的真理而付出了生命的代价。 同时该教派犯下了将发现无理数存在的教派成员、毕达哥拉斯的学生希伯斯迫害致死的罪行。这是数学史上一个最著名的悲剧。他那传奇般的一生给后代留下了许多的故事与传说。 然而像这样的“无理数”存在的事实，却不可能一扔了之，由此引发了数学史上第一次危机，也带来了数学思想一次大的飞跃。认识无理数的存在告诉我们，矛盾的存在说明人的认识还具有某种局限性，需要有新的思想和理论来解释。我们只有突破固有思维模式的束缚，才能开辟新的领域和方向，科学才能够继续发展。 科学无止境，认识无禁区，那些事先为科学设定条条框框的，最后将变成阻碍科学进步的阻力，必然被时代的所抛弃。 这类无理数的发现，是数学史上一个重要的发现。希伯斯为此献出了生命，但我们欣忍地看到，数学却因此又前进了一步。 值得一提的是我们华丽、高端、上档次的π也是无理数！“学、教、练”式《算术平方根》教学设计
课题 2.2.1 算术平方根 主备人 xxx
教学时间 xxx 课型 新授课
教学目标 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根. 2.根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根。 3.了解算术平方根的性质.
教学重点 1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。 2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根。
教学难点 算术平方根的性质。
教学内容 二次备课
一、情境导入 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积 比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 52=25，25是5的平方，那5是25的什么呢？ 二、探究新知 1.读一读：课本P26。 2.小组交流自学中的疑问，并把出现的典型问题在班上进行交流。 3.求下列各数的算术平方根：0.09, 10-4，- 64, 13, 2， 。（独立完成后小组交流） 4.议一议： （1）负数为什么没有算术平方根？ （2）如何求一个非负数的算术平方根？ 5.练一练 （1）(－1.44)2的算术平方根为_________. （2）的算术平方根为_________， 81的算术平方根是________, = _______. （3）.若一个数的算术平方根是，则这个数是_________. (4) 3＋a的算术平方根是5，求a的值． （5）已知x，y为有理数，且＋3(y－2)2＝0，求x－y的值． 3.议一议：算术平方根有何性质？ 五、课堂小结 1.算术平方根的概念和求法。 2.算术平方根的双重非负性。 布置作业 习题2.3 1、2 上课时间：
板书设计 2.2.1 算术平方根 概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2= a，那么这个正数x就叫做a的算数平方根，记作，读作“根号a” 特别：0的平方根是0，负数没有平方根.
教学反思“学、教、练”式《平方根》教学设计
课题 2.2.2 平方根 主备人 xxx
教学时间 xxx. 课型 新授课
教学目标 1．了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根. 2．了解开平方与平方是互逆运算，会用开平方运算求非负数的平方根。　　　　　　　　　　　　　　　
教学重点 1.了解平方根的概念。 2.会用开平方运算求非负数的平方根．
教学难点 平方根的性质。
教学内容 二次备课
一、情境导入 想一想： ( )2=9 ( )2= ( )2=0.01 9, , 0.01分别是（ ），（ ），（ ）的平方，反过来，（ ），（ ），（ ）分别是9, , 0.01的什么？ 探究新知 1.读一读：课本P28（到例3 ） 2.小组交流自学中的疑问，并把出现的典型问题在班上进行交流。 3.议一议： （1）负数为什么没有平方根？ （2）平方根有何性质？ （3）开平方与平方有什么关系？如何求一个非负数的平方根？在求一个正数的平方根时要注意什么？ 4.练一练： （1）填空：81的平方根是_____，的平方根是_____； 的平方根是______, ， ，=_______ (2) 解方程：81x2－49＝0 （3） 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数． 五、课堂小结 1.平方根的概念和求法。 2.平方根的性质。 布置作业 习题2.4 1、2、3 上课时间：
板书设计 2.2.1 平方根 概念：如果一个数x的平方等于a，即x2= a，那么这个数x就叫做a的平方根，记作，读作“根号a” 特别：0的平方根是0
教学反思“学、教、练”式《立方根》教学设计
课题 2.3 立方根 主备人 xxx
教学时间 xxx 课型 新授课
教学目标 1.通过用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法. 2.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根，会求一个数的立方根。
教学重点 立方根的概念及求法。
教学难点 明确平方根与立方根的区别，能熟练地求某数的立方根。
教学内容 二次备课
一、知识回顾 1.一个正方体的棱长为2cm，请思考正方体的体积是多少cm3？ 2.一个正方体的体积为27cm3，请思考正方体的棱长a是多少cm？ 3.一个正方体的体积为5cm3，请思考正方体的棱长a是多少cm？ 二、课题引入 1.想一想：如果a3=5，请思考a是多少？ 2.自学立方根的概念。 检测: 师生共同讨论立方根的概念及求法 做一做：求下列各数的立方根： 三、探究立方根的性质 议一议 1. 立方根的性质 （1）正数有几个立方根？ 一个正数有一个正的立方根； （2）0有几个立方根？ 零的立方根是零 （3）负数有几个立方根？ 一个负数有一个负的立方根， 2.平方根与立方根的异同 3.探究两个重要性质 巩固新知 五、课堂小结 1.立方根的概念及性质 2.开立方及相关运算 六、布置作业 上课时间：
板书设计 2.3 立方根 概念：如果一个数x的立方等于a，即= a，那么这个数x就叫做a的立方根，记作，读作“3次根号a”
教学反思“学、教、练”式《估算》教学设计
课题 2.4 估算 主备人 xxx
上课时间 xxx 课型 新授课
教材分析 本节课是北师大版《数学八年级（上）》第二章第四节．在学方根与立方根之后安排本节内容，目的很明确，就是要让学生体会如何运用这些知识去解决实际问题，体会到数学的实用价值，并逐步在今后的学习中有意识地运用估算的方法解决生活中的问题，发展学生的估算意识和数感．
学情分析 八年级学生初步认识了无理数，对平方根和立方根也有了一定的了解，这样学习本节内容就有了一定的基础，但由于学生对估算还比较陌生，在实际教学中需要通过大量贴近生活的实例让他们体会估算的方法，初步形成估算的意识，发展学生的数感．
教学目标 1.能通过估算检验计算结果的合理性，并估计一个无理数的大致范围． 2.会通过估算比较两个数的大小
教学重点 用估算的方法求无理数的近似值
教学难点 用估算的方法比较两个数的大小
教学内容 二次备课
导入新课 1.八(1)班有29人周末去看电影，门票8元/张，请问带250元够吗？ 2.第二周学校组织92个团员去看电影，门票还是8元/张，带700元够吗？带800元呢？ 二、讲授新课 议一议：估算的基本方法 问题：下列结果正确吗？你是怎样判断的？ 做一做：生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现有一长为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6m高的墙头吗 二、课堂小结 估算的基本方法 2.估算在生活中的应用 第一课时 上课时间：
板书设计 2.4 估算 估算的方法：
教学反思“学、教、练”式《 用计算器开方》教学设计
课题 2.5 用计算器开方 主备人 xxx
教学时间 xxx 课型 新授课
教学目标 1.会用计算器求平方根和立方根． 2.鼓励学生自己探索计算器的用法，经历运用计算器探求数学规律的活动，发展学生的探究能力和合情推理的能力．
教学重点 用计算器求平方根和立方根
教学难点 计算器求值的使用操作步骤
教学内容 二次备课
第一环节 ：情境引入：提出问题：你能计算吗？ 进而明晰：对于小数、分数或一些较大的整数的开方运算，我们可以用计算器来计算。 第二环节：学习使用计算器求平方根和立方根 内容：要求学生仔细阅读计算器使用说明书，找到关于开方运算的说明，并按说明书上的范例操作，然后与组内成员进行讨论，回答下列问题： 1．开方运算要用到键 和键 。 2．对于开平方运算，按键顺序为： 3．对于开立方运算，按键顺序为： 4．用计算器计算： （1） （2） （3） （4） （5） 第三环节 做一做 内容：利用计算器，求下列各式的值（结果保留4个有效数字）： （1） （2） （3） （4） 此环节开展比一比看谁算得快的活动。 例1 利用计算器比较和的大小。 目的：熟悉用计算器进行开方运算。 第四环节 议一议；内容：（1）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？ （2）改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律。 学生操作后，在小组内讨论形成结果，再进行全班交流。 （3）任意找一个非零数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？ 学生操作后，在小组内讨论形成结果，再进行全班交流。 目的：熟悉使用计算器求平方根和立方根的技能，并在探求数学规律的活动中，发展合情推理的能力。 第五环节：课堂小结 内容：今天我们学习了如何使用计算器进行开方运算，你能叙述如何使用计算器进行开方运算吗？ 目的：回顾使用计算器进行开方运算的步骤。 第六环节：布置作业 内容：完成习题 2.7 上课时间：
板书设计 2．5用计算器开方 一、学习使用计算器求平方根和立方根 二、做一做
教学反思“学、教、练”式《立方根》教学设计
课题 2.6 实数 主备人 xxx
上课时间 xxx 课型 新授课
教材分析 实数是在有理数和勾股定理等知识基础上进行的第二次数系扩张，在教学中注意运用类比方法，使学生明确新旧知识之间的联系，如实数的相反数、倒数、绝对值等概念可完全类比有理数建立，并通过例题和习题来巩固，适当加深对它们的认识.
学情分析 在本节课之前学生已学方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数的认识进一步深入.中学阶段有关数的问题多是在实数范围内进行讨论的，同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础.
教学目标 1.知道实数的概念并能按要求将实数进行分类 2.会在实数范围内求一个数的相反数、倒数、绝对值
教学重点 了解实数意义，能对实数进行分类；在实数范围内求相反数、倒数和绝对值，明确实数的运算规律。
教学难点 利用数轴上的点表示无理数
教学内容 二次备课
回顾与思考 你会把下列各数进行怎样的分类？ 二、讲授新课 学一学：实数的概念及分类 试一试：你学会了吗？ 思考： 1.在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样吗？你还知道哪些？ 2.有理数的运算及运算律对实数仍然适用 做一做： 1：分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值． 归纳总结： a是一个实数，它的相反数为 ， 绝对值为 ； 如果a ≠0，那么它的倒数为 . 议一议 问题1：你能在数轴上找到表示和 及 这样的无理数的点吗？ 当堂练习 三、课堂小结 1.有理数和无理数统称实数 2.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样. 3.实数与数轴上的点一一对应 作业布置： 习题2.8 1、2、3 第一课时 上课时间：
板书设计 2.6 实数 概念：有理数和无理数统称为实数； 实数的分类： 在数轴上表示一个无理数：
教学反思“学、教、练”式《二次根式》教学设计
课题 2.7.1 二次根式（第1课时） 主备人 新授课
上课时间 xxx 课型 新授课
教学目标 1.了解二次根式及最简二次根式的概念； 2.探索二次根式的性质，并能利用性质将二次根式 化为最简二次根式 .
教学重点 会把二次根式化简为最简二次根式.
教学难点 准确运用化二次根式为最简二次根式的方法.
教学过程 二次备课
一、课堂导入 算术平方根的定义:若一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的　算术平方根　.记作 . 二、新知探究 问题一　二次根式 观察,,,,(其中b=24,c=25),请问上述式子有什么共同特征 解:都含有开方运算,并且被开方数都是非负数. [归纳]一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式.a叫做被开方数. 问题二　积的算术平方根 填空. (1)=　6　, ×=　6　; (2)=　20　,×=　20　; (3)=　60　,×=　60　. 参考上面的结果,用“>、<或=”填空. 　= ×, 　= ×, 　= ×. [归纳]积的算术平方根:=·(a≥0,b≥0). 问题三　商的算术平方根 填空. (1)=　　,=　　; (2)=　　,=　　; (3)=　　,=　　; (4)=　　,=　　. 规律:　= ;　= ;　= ; 　= . [归纳]商的算术平方根:=(a≥0,b>0). 三、应用 例1　下列各式中,哪些是二次根式 哪些不是 (1); (2)6; (3); (4)(m≤0); (5)(x,y异号); (6); (7). 解:(1)(4)(6)均是二次根式,(2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 变式　下列各式:;;;(x≥1);;.一定是二次根式的有( B ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 例2　化简: (1); (2); (3); (4); (5). 解:(1) =×=35. (2)=×=4×9=36. (3)==××=20. (4)===×=9×5=45. (5)===×=44×2=88. [方法归纳] 解决此类题目的关键是熟记特殊数的平方值,熟练掌握二次根式、绝对值等的运算. 例3　化简: (1); (2); (3)(x≥0,y>0). 解:(1)===. (2)===. (3)==. [方法归纳] 当被开方数是带分数时,一定要先把带分数化成假分数,然后运用商的算术平方根的性质进行计算. 问题四　观察下面的问题: 1.已知 ≈1.732,如何求出的近似值 解:法一　=≈≈0.577. 法二　==≈≈0.577. 比较两种解法,解法1很繁琐,解法2较简便,将二次根式化简,有时会带来方便. 2.下列二次根式中,哪些是最简二次根式 哪些不是 把不是最简二次根式的化成最简二次根式. (1); (2); (3); (4). 解:最简二次根式有, 不是最简二次根式的有,,. (1)===. (2)==. (3)==. 范例应用 例4　在二次根式,,,中,最简二次根式共有( A ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 [点拨]中有因数4;中有分母9;中有因式a2.故最简二次根式只有.故选A. 四、巩固 1.下面式子是二次根式的是( A ) A. B. C. D.a 2.已知是整数,则正整数m的最小值是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.化简二次根式的正确结果是( D ) A. B. C.- D.- 4.若在实数范围内有意义,则x的取值范围是　x≤　. 5.化简:=　　. 6.已知y=++5,则x=　3　,y=　5　. 7.实数a在数轴上的位置如图所示,化简+a. 解:+a=1-a+a=1. 五、课堂小结 1.二次根式有意义的条件:被开方数大于等于0. 2.积的算术平方根:=×(a≥0,b≥0), 商的算术平方根:=(a≥0,b>0). 3.最简二次根式满足的条件是 (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
板书设计 2.7.1二次根式的概念及其性质 概念：般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式.a叫做被开方数. 注意：具有双重非负性
作业设计
教学反思“学、教、练”式《二次根式》教学设计
课题 2.7.2 二次根式（第2课时） 主备人 xxx
上课时间 xxx 课型 新授课
教学目标 1.会用二次根式的四则运算法则进行简单地运算. 2.灵活运用二次根式的乘法公式.
教学重点 会把二次根式化简为最简二次根式.
教学难点 准确运用化二次根式为最简二次根式的方法.
教学过程 二次备课
算术平方根的定义:若一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么正数x叫做a的　算术平方根　.记作 . 问题一　二次根式 观察,,,,(其中b=24,c=25),请问上述式子有什么共同特征 解:都含有开方运算,并且被开方数都是非负数. [归纳]一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式.a叫做被开方数. 问题二　积的算术平方根 填空. (1)=　6　, ×=　6　; (2)=　20　,×=　20　; (3)=　60　,×=　60　. 参考上面的结果,用“>、<或=”填空. 　= ×, 　= ×, 　= ×. 问题三　商的算术平方根 填空. (1)=　　,=　　; (2)=　　,=　　; (3)=　　,=　　; (4)=　　,=　　. 规律:　= ;　= ;　= ; 　= . 范例应用 例1　下列各式中,哪些是二次根式 哪些不是 (1); (2)6; (3); (4)(m≤0); (5)(x,y异号); (6); (7). 变式　下列各式:;;;(x≥1);;.一定是二次根式的有( B ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 例2　化简: (1); (2); (3); (4); (5). (5)===×=44×2=88. 例3　化简: (1); (2); (3)(x≥0,y>0). 问题四　观察下面的问题: 1.已知 ≈1.732,如何求出的近似值 解:法一　=≈≈0.577. 法二　==≈≈0.577. 2.下列二次根式中,哪些是最简二次根式 哪些不是 把不是最简二次根式的化成最简二次根式. (1); (2); (3); (4). 范例应用 例4　在二次根式,,,中,最简二次根式共有( A ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1.下面式子是二次根式的是( A ) A. B. C. D.a 2.已知是整数,则正整数m的最小值是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.化简二次根式的正确结果是( D ) A. B. C.- D.- 4.若在实数范围内有意义,则x的取值范围是　x≤　. 5.化简:=　　. 6.已知y=++5,则x=　3　,y=　5　. 7.实数a在数轴上的位置如图所示,化简+a. 1.二次根式有意义的条件:被开方数大于等于0. 2.积的算术平方根:=×(a≥0,b≥0), 商的算术平方根:=(a≥0,b>0). 3.最简二次根式满足的条件是 (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
板书设计
作业设计
教学反思“学、教、练”式《二次根式》教学设计
课题 2.7.3 二次根式的混合运算 主备人 xxx
上课时间 xxx 课型 新授课
教学目标 1.掌握二次根式的混合运算的运算法则. 2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
教学重点 二次根式的化简.
教学难点 二次根式的混合运算.
教学过程 二次备课
如果梯形的上、下底长分别为2cm,4cm,高为cm,那么它的面积是多少 问题一　二次根式的混合运算 计算: (1)+-ab(a≥0,b≥0); (2)2-×+; (3)3+×-4. 问题二　二次根式的化简求值 已知a=,b=,求的值. 范例应用 例　化简时,甲的解法是:==+,乙的解法是:==+,以下判断正确的是( C ) A.甲正确,乙不正确 B.甲不正确,乙正确 C.甲、乙的解法都正确 D.甲、乙的解法都不正确 问题三　运用二次根式的运算解决实际问题 教师节就要到了,李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺,其中一张面积为288 cm2,另一张面积为338 cm2,如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮,她现在有1.5 m的彩带,请你帮忙算一算她的彩带够不够用(参考数据:≈1.414). 1.下列计算正确的是( B ) A.3-2= B.×÷= C.(-)÷=2 D.-3= 2.若a=-2,则代数式a2+4a+6的值等于( A ) A.5 B.9 C.4-3 D.4+5 3.计算:(+)2 022·(-)2 023=　-　. 4.计算:(-)2(5+2)=　1　. 5.计算: (1)(-3)2+(-3)×(+3); (2)+-×-. 6.先化简,再求值:(a-)(a+)-a(a-),其中a=+.
板书设计 2.7.3 二次根式的混合运算
作业设计
教学反思

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