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专题6.1 反比例函数
【知识点一】反比例函数的定义
定义 一般地，如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成的形式，那么称y是x的反比例函数。
反比例函数的三种形式：
；
；
.
特别提醒：形如
【知识点二】反比例关系与反比例函数的关系
如果,那么x与y这两个量成么反比例关系，这里的x和y可能代表单项式，也可以代表多项式，当x与y只代表一次单项式时，x与y这两个量才成反比例函数关系；
成反比例关系不一定是反比例函数关系，但反比例函数中两个变量关系一定是反比例函数关系；
反比例函数中两个变量分别为自变量与因变量，但是反比例关系中没有两个变量的区别.
【知识点三】反比例函数的表达式
（1）确定反比例函数表达式的方法是待定系数法
由于在反比例函数中只有一个待定系数,因此只需要一对x,y的
对应值或图象上一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定表达式。
（2）用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤
一设：根据题意,设反比例函数的表达式为
二代：把x,y的对应值代入中,得到关于k的方程；
三解：解关于k的方程；
四写：把k的值代入反比例函数的表达式中即可写出表达式。
特别提醒：用待足系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对应
值,解一元一次方程题目中己经明确y是x的反比例函数“或"y与x成反比例关系时
可直接谈函数的表达式为
【考点一】利用反比例函数的定义识别反比例函数
【例1】（2023春·全国·八年级专题练习）已知反比例函数．
（1）说出比例系数．
（2）求当时函数的值．
（3）求当时自变量x的值．
【答案】（1）比例系数是；（2）；（3）
【分析】（1）根据反比例函数的定义可进行求解；
（2）把代入函数解析式进行求解即可；
（3）把代入函数解析式进行求解即可．
（1）解：由反比例函数可知比例系数为；
（2）解：把代入得：；
（3）解：把代入得：，
解得：．
【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过两点，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，，从而得到，进一步得到，代入变形后的代数式即可求得．
解：反比例函数的图象经过两点，
，，
∴，
，
，
，
，
故选：C．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）已知反比例函数，若，则y的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】先求出x=-2时y的值，根据反比例函数性质得出即可．
解：把x=-2代入得：y=-4，
∵8＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，图象在第一、三象限，
∴当x≥-2时，函数y的取值范围是y≤-4或y＞0，
故答案为：y≤-4或y＞0．
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
【考点二】利用反比例函数的关系求反比例函数的表达式
【例2】（2022春·九年级课时练习）已知，与成反比例，与成正比例，并且当时，；当时，．求：y关于x的函数解析式．
【答案】
【分析】首先根据题意，分别表示出y 1与x，y 2与x的函数关系式，再进一步表示出y与x的函数关系式；然后根据已知条件，得到方程组，即可求解．
解：设=，=（x+2），
∵，
∴y=+（x+2），
由时，；时，，得
，解得，
∴y关于x的函数解析式是．
【分析】此题考查正比例函数的定义，反比例函数的定义，求函数解析式，熟记正比例函数及反比例函数的定义，设出函数解析式进行计算是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；时，．求：关于的函数解析式
【答案】
【分析】设，，得到，将x与y的两组对应值代入得到二元一次方程组，求出解集即可得到答案.
解：设，，
则，
根据题意得：，
解得：，
则函数解析式是：.
【分析】此题考查正比例函数的定义，反比例函数的定义，求出二元一次方程组的解，正确理解正比例函数与反比例函数的定义并正确计算是解题的关键.
【变式2】（2021春·全国·九年级专题练习）已知两个变量x与y之间的对应值如下表，则y与x之间的函数解析式可能是（ ）
x … 1 2 …
y … 12 6 …
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数的定义即可得．
解：由表格可知，，
则y与x之间的函数解析式可能是，
故选：C．
【分析】本题考查了反比例函数，熟练掌握定义是解题关键．
【考点三】反比例函数的综合题
【例3】（2023秋·九年级课时练习）如图，点是平面直角坐标系的原点，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，其中，．
（1）试求出，的值；
（2）已知点为轴正半轴上的动点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴交的图象于点．
①连结，，，的面积是否随点的运动变化而变化？请说明理由．
②当与互相垂直时，试求出点的坐标．
【答案】（1），；（2）①的面积随点的运动变化没有发生变化，见分析；②
【分析】（1）根据题意求得，求得点，待定系数法求得反比例函数的系数即可；
（2）①延长交轴于点．设点，则点，，求得，推得点，点，，，根据割补法求得即可；
②待定系数法求得直线的解析式为：，根据反比例函数的性质可得点，关于直线对称；根据，求得的值，即可得到点的坐标．
（1）解：∵点在函数的图象上，
将代入得：
，
∴点，
∵点在函数的图象上，
将代入得：
；
（2）解：①的面积随点的运动变化没有发生变化，理由如下：．

延长交轴于点．设点，则点，．
∴
∵轴
∴点，点．
∴，．
∴
，
∴的面积是一个固定值，不会随点的运动变化而变化．
②∵点，点，
设直线的解析式为：，
将代入，解得：，
∴直线的解析式为：；
∴直线是函数图象的对称轴，
又∵，
∴点，关于直线对称；
∴，
∵点，，
∴
解得：，（不合题意，舍去）；
∴点的坐标为．
【分析】本题考查了求反比例函数的系数，三角形的面积公式，求一次函数解析式，反比例函数的性质，两点间距离公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，已知点在双曲线上，动点P在y轴正半轴上，将点A绕点P逆时针旋转90°，点A的对应点为B，若点B恰好落在双曲线上，则点P的坐标为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】先把代入反比例函数求出的值，分别过、两点作轴的垂线，，由旋转的性质证明，再设，即可得出的坐标，由双曲线上的点横坐标与纵坐标的积即相等，列方程求的值，确定点坐标．
解：分别过、两点作轴，轴，垂足为、，
是双曲线上一点，
，
反比例函数的解析式为，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
设，
,
,
，
点在双曲线上，
，解得或，
或．
故选：D．
【分析】本题考查的是反比例函数图象的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数图象的性质是解答此题的关键．
【变式2】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形的边与y轴平行，顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，若反比例函数的图像与矩形有公共点，则k的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据矩形写出B，D两点坐标，然后利用双曲线经过点B，D时对应的k值，从而得到k的取值范围．
解：∵矩形的顶点，，
∴,,
当双曲线经过点B时，k的值最小，此时，
当双曲线经过点D时，k的值最大，此时，
∴k的取值范围为．
∴k可以取2
故答案为：2（答案不唯一）．
【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟记点的横纵坐标的积是定值k是解题的关键．

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