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专题6.5 反比例函数的图象和性质
【知识点1】反比例函数的图象
图象的画法（描点法）
（1）列表； （2）描点； （3）连线.
图象的特点
反比例函数的图象是双曲线；
反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、四象限；
双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。
特别提醒：
双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)又是轴对称图形(对猕轴是直线：y=x或直线y=-x)；
实际问题中反比例函数的图象，受目变量取值范围的限制，有时只是第一象限内的
一支或其中一部分。
【知识点2】反比例函数的性质
y＝ (k为常数，)
图　象
所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号)
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线．
特别提醒：
在描述反比例函数的噌减性时,必须指明在每一个家限内”.因为当k>0(k<0)时,整个函数不是y随x的增大而减小(增大)而是函数在每一个象限内,y随x的增大而减小(增大),所以笼统地说对于函数y随×的增大而减小是错误的.
【知识点三】系数k的几何意义
(1)意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为.如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝|xy|＝|k|.
(2)常见的面积类型：
已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0.
(3)越大，双曲线离原点越远.
(4)求k的常用方法
①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积；
②设点法列方程求k值:化斜为直，把相似转化为坐标关系.
【考点一】判断（画）反比例函数的图象
【例1】（2022春·八年级课时练习）在同一个直角坐标系中画出反比例函数与的图象，并比较与的图象，概括出反比例函数的图象在位置和对称性方面的性质．
【答案】见分析
【分析】根据题意画出同一个直角坐标系中画出反比例函数与的图象，结合图象分析性质即可求解．
解： 列表如下，
列表如下，
同一个直角坐标系中画出反比例函数与的图象，如图所示，
的图象，位于一、三象限，在每一个象限内随的增大而减小，关于原点中心对称，关于象限平分线轴对称，
的图象，位于二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大，关于原点中心对称，关于象限平分线轴对称，
【分析】本题考查了画反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，掌握反比例函数的图象的性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023·山东济南·统考一模）函数与在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别讨论和时，一次函数和反比例函数的性质及图像特征，即可得到答案．
解：若，则，一次函数单调递减且过点（0，-5），所以一次函数的图像单调递减，过二、三、四象限；反比例函数图像在一、三象限，此时没有选项的图像符合要求．
若，则，一次函数单调递增且过点（0，-5），所以一次函数的图像单调递增，过一、三、四象限；反比例函数在二、四象限，此时选项C符合要求．
故选：C．
【分析】本题考查一次函数的图像和性质、反比例函数的图像和性质；熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是 （用“＜”连接）．
【答案】k1＜k2＜k3
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k=xy，进而可分析k1、k2、k3的大小关系．
解：读图可知：反比例函数 y＝的图象在第二象限，故k1＜0；
y=，y=在第一象限；且y=的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3；
故答案为k1＜k2＜k3．
【分析】本题考查反比例函数y=的图象，反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象距原点越远，k的绝对值越大．
【考点二】反比例函数的图象位置求解析式
【例2】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值．
【答案】4
【分析】设，，，，则，，然后根据，，列式求解即可．
解：设，，，，
则，，
则，
，得，
同理：，得，
又，
，
解得．
【分析】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键．
【举一反三】
【变式1】（2022·贵州黔西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】B
【分析】由图可知，反比例函数位于二、四象限，则根据反比例函数的性质可知k<0，再结合一次函数的图象和性质即可作答．
解：由图可知，反比例函数位于二、四象限，
∴k<0，
∴y=kx+2经过一、二、四象限．
故选：B．
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质以及一次函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正比例函数y＝x和反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限交于点A，且OA＝2，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】利用正比例函数图象上点的坐标特征，设A（t，t）（t＞0），根据两点间的距离公式0得到，求出得到A点坐标（，），然后把A点坐标代入y＝（k≠0）中即可求出k的值．
解：设A（t，t）（t＞0），
∵OA＝2，
∴，解得t=（负值舍去），
∴A（，），
把A（，）代入y＝得：k＝＝2．
故答案为：2．
【分析】本题主要考查函数图象的交点，掌握两函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键．
【考点三】反比例函数的图象的对称性
【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）已知反比例函数的图象的左支如图6-3所示，它经过点．
（1）判断k是正数还是负数．
（2）求这个反比例函数的表达式．
（3）补画这个反比例函数图象的另一支．
【答案】（1）负数；（2）；（3）见分析
【分析】（1）由图像上的点第二象限，可以判断k的取值；
（2）把点B的坐标代入解析式，求k的值，写出解析式；
（3）利用图像的对称性，取四个点，找到它们的中心对称点，用平滑曲线作出另一分支．
解：（1）因为反比例函数的图象的一支在第二象限，所以图象上的点的横坐标与纵坐标异号，即．
（2）将图象上点B的横坐标，纵坐标2分别代入表达式，得，解得．
所以所求的反比例函数的表达式是．
（3）在已知图象上分别取一些点作出它们关于原点中心对称的点，然后用光滑曲线把它们依次连结，这样就得到反比例函数的图象中的另一分支．
【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，直线与双曲线交于A、B两点．过点A作轴，垂足为M，连结BM．若，则k的值是（ ）
A．2 B． C．m D．4
【答案】A
【分析】设A坐标为，根据直线与双曲线的对称性得到点B坐标为，即可得到，根据点A在点第一象限，即可得到．
解：设点A坐标为，由直线与双曲线的对称性得点A和点B关于原点对称，
∴点B坐标为，
∴，
∵点A在点第一象限，
∴．
故选：A
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义和中心对称性，熟知反比例函数的中心对称性根据点A坐标确定点B的坐标是解题关键．
【变式2】（2020·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 ．
【答案】0
【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
∴，
故答案为：0.
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.
【考点四】已知反比例函数的图象的位置求参数取值范围
【例4】（2022秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知反比例函数y=（m为常数）
（1）若函数图象经过点A（-1，6），求m的值：
（2）若函数图象在第二、四象限，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）将点A的坐标代入即可求得m的值；
（2）根据图象所处的象限确定m的取值范围即可．
解：（1）∵函数图象经过点A（-1，6），
∴m-8=xy=-1×6=-6，
解得：m=2，
∴m的值是2；
（2）∵函数图象在二、四象限，
∴m-8＜0，
解得：m＜8，
∴m的取值范围是m＜8．
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征，是比较典型的题目，解题的关键是了解反比例函数的性质．
【举一反三】
【变式1】（2020·湖北武汉·中考真题）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可．
解：∵反比例函数，
∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，
∵，
∴a-1＞a+1，
此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，
∵，
∴，
解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．
综上，的取值范围是．
故选：B．
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．
【变式2】（2022春·重庆·八年级重庆八中校考期末）在一个不透明的纸箱内装有形状、质地、大小、颜色完全相同的5张卡片，卡片上分别标有数字－4，－3，0，1，2，将它们洗匀后，背面朝上，从中随机抽取1张，把抽得的数字记作a，再从剩下的卡片中随机抽取1张，把抽得的数字记作b，则使得反比例函数的图象经过第一、三象限的概率为 ．
【答案】/0.3
【分析】根据反比例函数的性质可知，要使得反比例函的图象经过第一、三象限的，则，根据题意画出树状图后，由树状图求得所有等可能结果，再直接利用概率公式求解即可
解：由题意知，反比例函的图象经过第一、三象限
画树状图得，
所有机会均等的结果共20种，其中a+b>0的所有可能为6种，
使得反比例函数的图象经过第一、三象限的概率
故答案为：．
【分析】本题考查反比例函数的性质和画树状图求概率等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【考点五】已知反比例函数的增减性求参数取值范围或所在象限
【例5】（2022秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考期末）在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小．
（1）函数经过哪些象限？
（2）求的取值范围．
【答案】（1）第一、三象限；（2）
【分析】（1）根据y随x的增大而减小，即可求解；
（2）由（1）得：函数经过第一、三象限，可得到5-﹥0，即可求解．
解：（1）∵反比例函数的图象上，y随x的增大而减小
∴函数经过第一、三象限，
（2）∵函数经过第一、三象限，
∴5-﹥0，
即﹤5
【分析】此题主要考查了反比例函数的性质和图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当k>0，双曲线两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
【举一反三】
【变式1】（2021·黑龙江大庆·统考中考真题）已知反比例函数，当时，随的增大而减小，那么一次的数的图像经过第（ ）
A．一，二，三象限 B．一，二，四象限
C．一，三，四象限 D．二，三，四象限
【答案】B
【分析】根据反比例函数的增减性得到，再利用一次函数的图象与性质即可求解．
解：∵反比例函数，当时，随的增大而减小，
∴，
∴的图像经过第一，二，四象限，
故选：B．
【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式2】（2023春·八年级单元测试）若函数（k为常数，且）过点，当时，y的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】先求出反比例函数解析式为：，即可得反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，问题随之得解．
解：∵函数过点，
∴，，
∴反比例函数解析式为：，
∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，
当时，，
∵，
∴，
∴y的取值范围是，
故答案为：．
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据函数解析式判断出反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，是解答本题的关键．
【考点六】比较反比例函数值的大小
【例6】（2023·广东茂名·校考模拟预测）如图，反比例函数图象的一支在第一象限．
（1）求k的取值范围；
（2）在这个函数图象的某一支上任取两点，，如果，那么和有怎样的大小关系？
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由题意可得：，解不等式即可；
（2）根据反比例函数的性质解答即可．
（1）解：∵反比例函数图象的一支在第一象限，
∴，
解得．
（2）∵，
∴反比例函数在每一个象限内，y都随x的增大而减小．
∵，
∴．
∴．
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022·天津·统考中考真题）若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可．
解：将三点坐标分别代入函数解析式，得：
，解得；
，解得；
，解得；
∵-8<2<4，
∴，
故选： B．
【分析】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
【变式2】（2022·山东滨州·统考中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为 ．
【答案】y2＜y3＜ y1
【分析】将点A（1，y1），B（-2，y2），C（-3，y3）分别代入反比例函数，并求得y1、y2、y3的值，然后再来比较它们的大小．
解：根据题意，得
当x=1时，y1=，
当x=-2时，y2=，
当x=-3时，y3；
∵-3＜-2＜6，
∴y2＜y3＜ y1；
故答案是y2＜y3＜ y1．
【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，此题比较简单，解答此题的关键是熟知反比例函数的性质及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，属较简单题目．
【考点七】已知比例系数求特殊四边形的面积
【例7】（2022秋·湖南常德·九年级统考期中）如图，点M是反比例函数图像上的一个动点，过点M作x轴的平行线交反比例函数图像于点N．
（1）若点M（，3），求点N的坐标；
（2）若点P是x轴上的任意一点，那么△PMN的面积是否发生变化？若不变，求出它的面积是多少？若变化，请说明理由．
【答案】（1）；（2）不变，5
【分析】（1）将y=3代入，求得点N的坐标；
（2）连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，由反比例函数系数k的几何意义求得△MOH和△NOH的面积，得到△MON的面积，由MN∥x轴得到△MON和△MNP的面积相等，从而得到△PMN的面积不变．
解：（1）∵MNy轴，
∴点M、N的y值相等，
将y=3代入，
得，
∴；
（2）不变，
如图，连接OM，ON，记MN与y轴的交点为点H，
∵MNx轴，点M和点N分别在函数和函数图象上，
∴，
∴，
∴S△PMN=5，
∴△PMN的面积不变，且△PMN的面积为5．
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是连接MO和NO，得到△MON和△PMN的面积相等．
【举一反三】
【变式1】（2022·湖南娄底·统考一模）如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中是（ ）
A． B．3 C．6 D．12
【答案】C
【分析】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知，故可得出ADOB，所以，故，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
解：如图：
∵△AOB和△ACD均为正三角形，
∴，
∴ADOB，
∴，
∴，
过点B作BE⊥OA于点E，则，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键．
【变式2】（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，点C在反比例函数y的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，则△ABO的面积为 ．
【答案】4
【分析】设A（a，），则C（a，），根据题意求得a＝1，从而求得A（1，3），C（1，1），进一步求得B（3，1），然后作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，根据S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE和反比例函数系数k的几何意义得出S△ABO＝S梯形ABED，即可求得结果．
解：设A（a，），则C（a，），
∵CA＝2，
∴2，
解得a＝1，
∴A（1，3），C（1，1），
∴B（3，1），
作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D，
∵S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE，S△AOD＝S△BOE，
∴S△ABO＝S梯形ABED（1＋3）（3﹣1）＝4；
故答案为：4.
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义和三角形的面积，得出S△ABO=S梯形ABED是解题的关键．
【考点八】已知面积求比例系数
【例8】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，函数（其中）的图象经过平行四边形的顶点A，函数（其中）的图象经过顶点C，点B在x轴上，若点C的横坐标为2，的面积为6．
（1）求k的值；
（2）求直线的解析式．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据点C的横坐标是2求出C点坐标，再由平行四边形得出轴，根据三角形的面积公式求出的长，故可得出A点坐标，进而可得出k的值；
（2）根据四边形是平行四边形可知，故可得出，再利用待定系数法求出直线的解析式即可．
（1）解：∵点C的横坐标是2，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴轴，
∵，即，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为．
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2022·山东日照·统考中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】B
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S四边形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故选：B．
【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
【变式2】（2022·安徽·统考中考真题）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则 ．
【答案】3
【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先证四边形CDEB为矩形，得出CD=BE，再证Rt△COD≌Rt△BAE（HL），根据S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，再求S△OBA=即可．
解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴ ，即，OC=AB，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
∴Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案为3．
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质．

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