资源简介

14.1.1同底数幂的乘法
【教学目标】
1.理解同底数幂乘法法则，能够运用其进行简单的计算，并解决简单的实际问题.
2.经历计算、观察、猜想、验证、归纳概括等探索及应用同底数幂乘法法则的过程，发展推理能力、语言表达能力及运算能力，体会由特殊到一般再到特殊及转化的思想方法，逐步积累数学活动经验.
3.过积极参与独立思考、合作交流等活动，感受成功的喜悦，进一步增强学习数学的自信心及合作意识，逐步养成勤于动脑、善于动手、勇于动口的良好学习习惯.
【教学重难点】
重点：正确理解同底数幂乘法法则及运用性质进行有关计算.
难点：同底数幂乘法法则的推导、理解及灵活运用.
【教学方法】
观察、实践法、举例法.
【教学过程】
新课导入：
创设情境，提出问题：
9月17日下午，神舟十二号载人航天飞船航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波三名航天员搭载返回舱成功在东风着陆场着陆.神十二航天员乘组在空间站组合体工作生活了90余天，刷新了中国航天员单次飞行任务太空驻留时间的纪录.神舟十二号载人航天任务取得圆满成功！
已知飞船的飞行速度是104m/s，每天飞行的时间约为105s，神州十一号飞船每天飞行多少米？
104×105=？
问题1：在103中，10，3分别叫什么？表示的意义是什么？
103表示10×10×10，103中，10是底数，3是指数.
问题2：观察算式1017 ×103，两个因式有何特点？
观察可以发现，1017 和103这两个因数底数相同，是同底数的幂的形式.
我们把形如1017 ×103这种运算叫作同底数幂的乘法.
新课讲授：
（一）同底数幂的乘法
探究：怎样计算104×105呢？
104×105=（10×10× 10× 10 ）×（ 10×10×10 × 10× 10）= 10×10×···×10=109
问题：请同学们利用乘方的意义，完成下列各题.
103 ×102 =___________________________= 10（ ），
23 ×22 = =2（ ），
a3×a2 = = a（）.
引导学生归纳结论：
am·an=(a·a·…a)(a·a·…a)
( m 个a)( n 个a)
=(a·a·…a)
( m+n 个a)
=am+n
条件：①乘法； ②底数相同.
结果：①底数不变；②指数相加.
例1:计算：
(1)x2·x5； (2) (a+b)(a+b)6；
(3)(-2)×(-2)4×(-2)3； (4)xm·x3m+1.
解：(1)x2·x5=x2+5=x7；
(2)(a+b)(a+b)6=(a+b)1+6=(a+b)7；
(3)(-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)1+4×(-2)3=(-2)8=256；
(4)xm·x3m+1=xm+3m+1=x4m+1.
总结归纳：
同底数幂相乘时，指数为正整数，指数进行加法运算；
底数为负数时，先用同底数幂的乘法法则计算，最后确定结果的正负；
不能疏忽指数为1的情况；
公式中的a可为一个有理数、单项式或多项式（整体思想）
提出问题：
类比同底数幂的乘法公式am·an=am+n(m，n都是正整数)，当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢
am·an·ap =am+n·ap =am+n+p ，
am·an·ap=am+n+p(m，n，p都是正整数).
例如：x3·x3·x= x3+3+1 =x7
例2:计算：
(1)(a+b)4·(a+b)7· (a+b)7；
(2)(m-n)3·(m-n)5·(m-n)7；
(3)(x-y)2·(y-x)5·(y-x).
解：(1)(a+b)4·(a+b)7 · (a+b)7 =(a+b)4+7+7=(a+b)18 ； ；
(2)(m-n)3·(m-n)5·(m-n)7=(m-n)3+5+7=(m-n)15；
(3)(x-y)2·(y-x)5·(y-x)=(y-x)2·(y-x)5·(y-x)=(y-x)2+5+1=(y-x)8.
例3：在2010年全球超级计算机排行榜中，中国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”雄居第一，其实测运算速度可以达到每秒2570万亿次，如果按这个工作一整天，那么它能运算多少次？
解 ： 2750亿次= 2.75×103×108次, 24时=24×3.6×103.
（2.75×103×108）× (24×3.6×103)
=(2.75×24×3.6) × (103×108×103)
=237.6×1014
=2.376×1016（次）
答：它一天约能运算2.376×1016次.
课堂练习：
1.下列各式的结果等于26的是( )
A.2+25 B.2·25 C.23·25 D.0.22·0.24
2.下列计算结果正确的是( )
A.a3·a3=a9 B.m2·n2=mn4 C.xm·x3=x3m D.y·yn=yn+1
3.计算：(1)xn+1·x2n=_______；(2)(a-b)2·(a-b)3=_______；
(3)-a4·(-a)2=_____； (4)y4·y3·y2·y =_______.
4.填空：
(1)x·x2·x( )=x7；(2)xm·( )=x3m；(3)8×4=2x，则x=( ).
答案：
1.B 2.D
3.（1）x3n+1 （2）(a-b)5 （3）-a6 （4）y10
4.（1）4 （2）x2m （3）5
（二）同底数幂的乘法的逆运算
想一想：am+n可以写成哪两个因式的积？
同底数幂乘法法则：am · an = am+n；法则逆用：am+n = am · an.
填一填：若xm =3 ，xn =2，那么，
（1）xm+n = × = × = ；
（2）x2m = × = × = ；
（3）x2m+n = × = × = .
例3 (1)若xa＝3，xb＝4，xc＝5，求2xa＋b＋c的值．
(2)已知23x＋2＝32，求x的值；
解：(1) 2xa＋b＋c＝2xa·xb·xc＝120.
(2) ∵ 23x＋2＝32＝25，
∴3x＋2＝5，
∴x＝1.
即学即练：已知 2x=5 , 求2x+2的值.
解：∵2x=5，
∴.
课堂练习：
5.如果an-2a n+1=a11，则n= .
6.已知：am=2， an=3.求am+n 的值.
答案：
5.解：由题意得：n-2+ n+1=11，解得n=6.
6. 解：由题意得：am+n= am· an=23=6.
课堂小结：
说一说本节课都有哪些收获.
知识：同底数幂的乘法法则及其逆运算；
方法：特殊→一般→特殊.
作业布置：
1.计算下列各题：
(1)(2a+b)2n +1·(2a+b)3；
(2)(a-b)3·(b-a)4；
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3 ；
(4) -a3·(-a)2·(-a)3.
解：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3=(2a＋b)2n＋4；
(2)(a-b)3·(b-a)4=(a-b)7；
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3=36；
(4)－a3·(－a)2·(－a)3=a8.
2.完成本节课配套习题.
【板书设计】
同底数幂的乘法：am · an = am+n；am·an·ap=am+n+p(m，n，p都是正整数).
法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
注意：底数相同时，直接应用法则；底数不相同时，先变成同底数再应用法则.
同底数幂的乘法的逆运算：am+n = am · an.
【课后反思】
在同底数幂乘法公式的探究过程中，学生表现出观察角度的差异：有的学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系起来；有些学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力. 教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质. 对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”.
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