资源简介

14.2.1 平方差公式
【教学目标】
1.会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算.
2.经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式.
3.通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性，体验数学活动充满着探索性和创造性.
【教学重难点】
重点：平方差公式的推导和应用.
难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.
【教学方法】
情境教学、探究推理法.
【教学过程】
新课导入：
创设情境，提出问题：
1.多项式与多项式是如何相乘的？
（x ＋ 3)( x＋5）=x2＋5x＋3x＋15=x2+8x+15；
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
2.完成下列习题，想一想相乘的两个多项式有什么共同点？观察所得的结果，你发现了什么规律？
（1）(x+1)(x-1)= 　 ；
（2）(m+2)(m-2)=　 ；
（3）(2x+1)(2x-1)= 　 ．
新课讲授：
（一）平方差公式
引导学生归纳结论：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
你能将上面发现的规律推导出来吗？
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2；
即：(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫做平方差公式.
思考探究：观察下列图形变化，思考面积变了吗？
(a+5)(a-5)=a2-52=a2-25
公式分析：相乘的两个二项式，首项相同，第二项互为相反数.
公式变形：1.（a–b) ( a+b) = a2 - b2；2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2.
注意：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
例1：计算：(1) (3x＋2 )( 3x-2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y).
解：（1）原式=(3x)2－22=9x2－4；
(2) 原式＝ (-x)2 - (2y)2＝x2 - 4y2.
例2：计算：
（1）( y+2)( y-2)-( y-1)( y+5)；
（2）102×98.
解:（1）( y+2)( y-2)-( y-1)( y+5) =y2-4-( y2+4y-5)=1-4y；
（2）102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=9996.
例3:对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
解：原式＝9n2-1-(9-n2)＝10n2-10.
∵(10n2-10)÷10=n2-1，n为正整数.
∴n2-1为整数，
即(3n＋1)(3n-1)-(3-n)(3＋n)的值是10的倍数．
思考：从例题中，你认为运用公式解决问题时应注意什么？
（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式的结构特征；
（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个数或式相当于公式中的b；
（3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同，“第二个数”b的符号相反；
课堂练习：
1.下列式子能用平方差公式计算吗
① (-3x+2)(3x-2) ② (b+2a)(2a-b)
③ (-x+2y)(-x-2y) ④ (-x+y)(x-y)
解：（1）不能 ；（2）能，4a2-b2 ；
（3）能，x2-4y2；（4）不能.
2.填空：使等式两边满足平方差公式.
（1）(1＋x)( 1-x)＝1-x2 ；
（2）(-3＋a)(-3-a)＝9　-a2；
（3）(x＋a)(a-x )＝a2-x2；
（4）(0.3x-2)(　-2-0.3x)＝4-0.09 x2；
（5）(ab-x)(-ab-x)＝ x2-a2b2.
3.利用平方差公式计算：
(1)(-x-2y)(-2y+x) ， (2)(2x+5)(5-2x)， (3)(x+6)2-(x-6)2 ，
(4)(0.5-x)(x+0.5)(x2+0.25) ，（5）100.5×99.5 .
解：（1）原式=(-2y-x)(-2y+x)= 4y2-x2；
（2）原式=(5+2x)(5-2x)= 25-4x2；
（3）原式=[(x+6)-(x-6)][(x+6)+(x-6)] = (x+6-x+6)(x+6+x-6)=12×2x=24x；
（4）原式=(0.5-x)(0.5+x)(x2 +0.25)=( 0.25-x2)( 0.25+x2)=0.062 5-x4；
（5）原式=(100+0.5)(100-0.5)=10 000-0.25=9 999.75 .
4.先化简，再求值：(2x-y)(y＋2x)-(2y＋x)(2y-x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2-y2-(4y2-x2)＝4x2-y2-4y2＋x2＝5x2-5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5×12-5×22＝-15.
课堂小结：
说一说本节课都有哪些收获.
平方差公式的法则；
平方差公式的注意事项.
作业布置：
1.已知x≠1，计算：(1＋x)(1-x)＝1-x2，(1-x)(1＋x＋x2)＝1-x3，(1-x)(1＋x＋x2＋x3)＝1-x4.
(1)观察以上各式并猜想：(1-x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1-2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；
②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；
③(x-1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a-b)(a＋b)＝________；
②(a-b)(a2＋ab＋b2)＝________；
③(a-b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．
答案：（1）1-xn+1 ；（2）-63 2n＋1-2 x100-1；（3）a2-b2 a3-b3 a4-b4.
2.完成本节课配套习题.
【板书设计】
平方差公式
内容：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
注意：
1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2；
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.
【课后反思】
平方差公式体现了特殊多项式相乘的结果，引导学生由多项式乘法法则推出，然后引导学生观察公式的结构特征，从本质上认识符合公式特征的多项式相乘，以便于灵活解决实际问题.
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