资源简介

14.3.2公式法1
【教学目标】
1.会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力.
2.经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性.
3.培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值.
【教学重难点】
重点：应用平方差公式分解因式.
难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.
【教学方法】
观察、探究推理法.
【教学过程】
新课导入：
复习旧知：
1.如何理解因式分解？
把一个多项式分解成几个整式的积的形式.
2.什么是提公因式法分解因式
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
问题：如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？
先来看一个新问题再来研究：
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2-b2 =(a+b)(a-b)
新课讲授：
（一）平方差公式因式分解法
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
答：平方差公式是a，b两数的平方差的形式；
(a+b)(a-b)=a2-b2是整式乘法；a2-b2=(a+b)(a-b)是因式分解.
小结：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
课堂练习：
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
（1）x2+y2；×
（2）x2-y2；√
（3）-x2-y2；×
（4）-x2+y2；√
（5）x2-25y2.√
小结：
能用平方差公式分解因式的多项式的特点：
（1）一个二项式.
（2）每项都可以化成整式的平方.
（3）整体来看是两个整式的平方差.
口诀：两边平方数，减号居中央.
例1：分解因式：
解:(1)
归纳结论：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
练习：分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
指导学生练习中引导学生发现问题并及时总结：
若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
例2：分解因式.
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1)＝ab(a+1)(a-1).
练习：
分解因式：
(1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.
解：(1)原式＝5m2(a4－b4)＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)＝(a＋2b)(a－2b－1).
通过例题讲解与学生练习指导学生归纳：
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法，最后进行检查.
（二）平方差公式因式分解法的应用
3：已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①，
∴x－y＝－2②.
联立①②组成二元一次方程组，解得：
归纳：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例4：利用因式分解计算：（1）758 -258 .
解：758 -258 =（758+258）（758-258）
=1016×500
=508000.
（2）1002-992+982-972+962-952+… +22-12.
解：原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97）+…
+(2+1)(2-1)
=199+195+191+… +3
=5 050.
课堂练习：
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　D　)
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　D　）
A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)
C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　A　）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
4.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n)，
当4m+n=40，2m-3n=5时，
原式=-40×5=-200．
课堂小结：
说一说本节课都有哪些收获.
说一说平方差公式的结构特点；
掌握因式分解的步骤.
作业布置：
完成本节配套习题.
【板书设计】
平方差公式因式分解
公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
两数是平方，减号居中央.
步骤：一提；二套；三查.
【课后反思】
以引导学生认识平方差的结构特征为重点，以学生自主观察、分析、归纳为主要形式，鼓励学生主动参与学习过程， 加深学生对公式变式的认识，从而全方位地掌握平方差公式的应用范围，再指导学生利用实际训练强化对新知识的掌握.
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