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用空间向量研究夹角问题题型汇总
一、利用向量方法求两异面直线所成角
若两异面直线l1,l2所成角为θ,它们的方向向量分别为a、b,则有
cos θ=|cos|= ，两异面直线所成角的范围是。
练习题：
1.若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于(　　)
A.- B. C.- D.
2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(　　)
A. B.- C. D.-
3．在棱长为3的正方体中，为线段中点，为线段上靠近的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
4．如图所示，在正方体中，点E为线段的中点，点F在线段上移动，异面直线与所成角最小时，其余弦值为（ ）
A．0 B． C． D．
5.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的
余弦值为　　　　　.
6．设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记.当为锐角时，的取值范围是__________．
二、利用向量方法求直线与平面所成角
若直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,
则有sin θ=|cos|=
注意：直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
练习题：
1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为(　　)
A.　　　　　 B. C. D.π
2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于(　　)
A.120° B.60° C.150° D.30°
3．在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
5．（多选题）正三棱柱中，，则（ ）
A．与底面的成角的正弦值为
B．与底面的成角的正弦值为
C．与侧面的成角的正弦值为
D．与侧面的成角的正弦值为
6．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_____．
三、利用向量方法求二面角
若二面角α-l-β的平面角的大小为θ,其两个面α,β的法向量分别为n1,n2, 则
|cos θ|=|cos|=
特别提醒：由于二面角的取值范围是[0,π],而两个面的法向量的方向无法从图形上直观确定,因此不能认为二面角的大小就是其两个面法向量夹角的大小,需要结合具体图形判断二面角是锐角还是钝角,从而求得其大小.
练习题：
1.二面角α-l-β中,平面α的一个法向量为n1=,平面β的一个法向量是n2=,那么二面角α-l-β的大小等于(　　)。
A.120° B.150° C.30°或150° D.60°或120°
2.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=PB,则平面PAB与平面PCD的夹角为_________.
3．在底面为锐角三角形的直三棱柱中，是棱的中点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体中，E、F分别为、的中点，则异面直线、所成角的大小为_______；平面与平面所成锐二面角的余弦值为__________.
5．如图，在四面体中，，.若为线段上的动点（不包含端点），则二面角的余弦值取值范围是__________．
四、综合练习题
1.如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
2.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;
(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.
3.如图,在正方体ABEF-DCE'F'中,M,N分别为AC,BF的中点,求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值.
4.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,且∠BCD=,PD⊥BC.
(1)求证:PC=PD;
(2)若底面ABCD是菱形,PA与平面ABCD所成的角为,求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.
答案解析
一、利用向量方法求两异面直线所成角
1.【答案】B
【解析】因为a·b=-4,|a|=,|b|=2,所以cosθ=|cos|=.
2.【答案】A
【解析】=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos =,故直线AB和CD所成角的余弦值为.
3.【答案】B
【解析】如图建立空间直角坐标系，则知，，，，
所以，，所以.
4.【答案】C
【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
在正方体中, 点E为线段的中点，设正方体棱长为2，
则，,
设，，设异面直线与的夹角为，
则,异面直线与所成角最小时，则最大，即时，.故选：C.
5.答案:
解析：以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,设AB=1.则
B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),=(0,1,-2),=(-1,0,2),
cos<>==-,故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
6.【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，由得，则，因为为锐角，所以，解得或，又因为动点在棱长为1的正方体的对角线上，所以的取值范围为.
二、利用向量方法求直线与平面所成角
1.解析:以D为原点建立空间直角坐标系,可求得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而=(0,-1,1),所以cos θ=,则θ=30°,故直线A1B与平面BDE成60°角.
答案：B
2.解析：因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,所以它们所在直线的夹角为60°,则直线l与平面α所成的角等于90°-60°=30°. 答案：D
3.【答案】B
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，设平面的法向量为
则令可得，所以
设直线与平面所成角为，，故选：B
4.【答案】A
【解析】取AB的中点D,连接CD,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
可得A(1,0,0),A1(1,0,3),故=(0,0,3),而B1(-1,0,3),C1(0,,3),设平面AB1C1的法向量为m=(a,b,c),
根据m·=0,m·=0,解得m=(3,-,2),cos=.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°,故选A.
5.【答案】BC
【解析】如图，取中点，中点，并连接，则，，三条直线两两垂直，
则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系；设；
则；，，，，1，，，，，，1，；，0，，．底面的其中一个法向量为：，与底面的成角的正弦值为，；错对．
的中点的坐标为，，；侧面的其中一个法向量为：；与侧面的成角的正弦值为：，；故对错；故选：．
6.【答案】4
【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，故，，，设平面的一个法向量为，则，可取，故，
又直线与平面所成角的正弦值为，，解得．
三、利用向量方法求二面角
1.解析：设所求二面角的大小为θ, 则|cos θ|=,所以θ=30°或150°.答案：C
2.【答案】
【解析】如图所示,建立空间直角坐标系.
设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴=(0,1,0).取PD的中点E,则E,∴,易知是平面PAB的一个法向量,是平面PCD的一个法向量,所以cos<>=,故平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
3.【答案】B
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，设平面的法向量为
则令可得，所以
设直线与平面所成角为，，故选：B
4.【答案】；
【解析】以D为原点建立如图所示空间之间坐标系：
则，所以，
设异面直线、所成角的大小为，所以，
因为，所以.又，设平面的一个法向量为：，
则，即，令，则，
平面一个法向量为：，设平面与平面所成锐二面角为，
所以.故答案为：①；②
5.【答案】
【解析】以AB的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则，则，令，所以平面的一个法向量为，所以，
因为，所以，所以，
所以，即二面角的余弦值的取值范围是.
四、综合练习题
1.思路分析:(1)线面平行的判定定理 MN∥平面PAB.
(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角 直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
(1)证明:由已知得AM=AD=2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN,
由N为PC的中点知TN∥BC,TN=BC=2.
又AD∥BC,故TN∥AM且TN=AM,
所以四边形AMNT为平行四边形,
于是MN∥AT.
因为AT 平面PAB,MN 平面PAB,
所以MN∥平面PAB.
(2)解:如图,取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AE⊥BC,从而AE⊥AD,
且AE=.
以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
由题意知P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N,1,2,
=(0,2,-4),=,1,-2,=,1,2.
设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,则
即可取n=(0,2,1).于是|cos|=.
所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
2.【解析】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),=(2,2,-2),∵AB⊥平面SAD,故平面ASD的一个法向量为=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sin θ=|cos<>|=,故cos θ=,即SC与平面ASD所成角的余弦值为.
(2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),∵=(2,2,-2),=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),由令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和平面SCD的夹角为α,则cos α=,即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为.
3.思路分析:有两种思路,一是先根据二面角平面角的定义,在图形中作出二面角的平面角,然后利用向量方法求出夹角从而得到所成二面角的大小;另一种是直接求出两个面的法向量,通过法向量的夹角求得二面角的大小.
解:设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系B-xyz,则M,N,A(1,0,0),B(0,0,0).
(方法1)取MN的中点G,连接BG,AG,则G.
因为△AMN,△BMN为等腰三角形,所以AG⊥MN,BG⊥MN,
故∠AGB为二面角的平面角或其补角.
又因为,,所以cos<>==-,
故所求两平面所成锐二面角的余弦值为.
(方法2)设平面AMN的法向量n1=(x,y,z).
由于,
则令x=1,解得y=1,z=1,于是n1=(1,1,1).
同理可求得平面BMN的一个法向量n2=(1,-1,-1),
所以cos==-,
故所求两平面所成锐二面角的余弦值为.
4.【解析】(1)如图①,过P作PE⊥BC,垂足为E,连接DE.
图①
因为平面PBC⊥平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.
因为PD⊥BC,所以BC⊥平面PDE,所以DE⊥BC.
因为∠BCD=,所以DE=CE.在△PED和△PEC中,
PE=PE,∠PED=∠PEC=90°,DE=CE,
所以△PED≌△PEC,所以PD=PC.
(2)因为BC⊥平面PDE,PE⊥平面ABCD,所以∠PAE是直线PA与平面ABCD所成的角,
即∠PAE=,且DE⊥BC,DE⊥PE.
设PE=a,则AE=a,PA=2a.在△DEC中,设DE=m,
则EC=m,DC=m,
所以在Rt△EDA中,(a)2=m2+(m)2,所以m=a.
以E为坐标原点,ED,EB,EP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图②所示的空间直角坐标系,
图②
则D(a,0,0),A(a,a,0),P(0,0,a),则平面PBC的一个法向量为a=(1,0,0).
设平面PAD的一个法向量为b=(x,y,z),因为=(-a,-a,a),=(0,-a,0),
所以取x=1,则b=(1,0,1).
设平面PAD与平面PBC的夹角为θ,
则cos θ=,
所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为.

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