资源简介

27.2.2 相似三角形的性质
一、教学内容分析
判定和性质是研究几何图形的两个重要方面，我们已研究了相似三角形的判定，接下来就要对性质进行研究，与全等三角形一样，相似三角形的性质主要研究相似三角形几何量之间的关系.由相似三角形的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例.三角形还有其他的几何量，如高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等.教科书先对相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比进行探究，推广得到对应线段的比等于相似比；以此作为基础，得到相似三角形面积的比与相似比的关系.
二、教学目标
1.理解相似三角形的性质.
2.会利用相似三角形的性质解决简单的问题.
三、教学重难点
【重点】相似三角形对应线段的比、面积的比与相似比的关系的探究与应用.
【难点】提出三角形相似性质的猜想.
四、教学方法
启示式类比﹑类比法﹑归纳﹑探究式的教学方法.教学中力求体现“类比探究归纳”的模式，有计划的逐步展示知识的产生过程，渗透数学思想方法.
五、教学过程
（一）新课导入
1．相似三角形的定义是什么？相似比是什么？
2. 相似三角形的判定方法是什么？
3. 对于相似三角形，我们已经研究了它的定义和判定.根据已有的研究几何图形的经验，我们还需研究什么？
出示本节课授课题目：27.2.2相似三角形的性质
设计意图：复习“旧知”，关联“新知”，并对相似三角形研究基本思路进行梳理．
（二）新课讲授
活动一：提出猜想 确定方向
1.我们已经学习了相似三角形的哪些性质？
2.我们还可以继续研究相似三角形的哪些几何量的关系？
追问：在三角形的学习过程中，我们知道三角形中有各种各样的几何量，除了边、角，还有什么重要的几何量？
3.我们可否类比三角形研究思路，研究一下相似三角形的性质？相似三角形的这些几何量可能存在什么性质呢？
追问：全等三角形是相似比为1的相似三角形，全等三角形的对应高线、中线、角平分线、周长、面积都相等，相似三角形这些几何量会有什么性质呢？
【答案或提示】
1.定义即性质，相似三角形对应角相等，对应边成比例.
2.类比三角形研究的几何量探究相似三角形的对应中线、对应高线、对应角平分线、对应周长、对应面积.
3.（预设学生答案）
（1）全等三角形的这些对应几何量相等或比1，相似三角形这些对应量的比等于相似比.
（2）相似三角形的面积比是对应底与对应高的乘积的比，所以面积比是相似比的平方.
设计意图：还安静课堂于学生，给学生充分的思考时间，引导学生类比全等三角形中几何量的对应关系猜想相似三角形对应几何量间的关系，根据积累的数学活动经验自主提出猜想，分解难点，激发学生探究热情.
活动二：示范引领 启发思路
问题1：结合图形，写出已知、求证，并证明命题“相似三角形对应高的比等于相似比”.
追问：我们在证明两条线段相等时，常会借助两条线段所在的三角形全等证得结论，那如何证明对应线段成例呢？
【答案或提示】
已知：△ABC∽△A′B′C′且相似比为k，AD.A′D′分别为对应边BC和B′C′边上的高.
求证：
证明：∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′
又∵AD.A′D′是高，
∴∠ADB=∠A′D′B′= 900
∴△ADB∽△A′D′B′
∴
归纳：相似三角形对应高的比等于相似比.
几何语言：在△ABC与△A′B′C′中，AD.A′D′分别为对应边BC和B′C′边上的高.
∴
设计意图：通过“追问”帮学生分析问题，梳理证明思路；教师规范命题证明过程，培养学生逻辑推理的严谨性.
问题2：能否类比证明“相似三角形对应高的比等于相似比”的方法，证明一下相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于相似比？归纳你的结论.
【答案或提示】
已知：△ABC∽△A′B′C′且相似比为k，AD.A′D′分别为对应边BC和B′C′边上的中线.
求证：
证明：∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′
又∵AD.A′D′分别为对应边BC和B′C′边上的中线
∵∠B=∠B′
∴△ADB∽△A′D′B′
已知：△ABC∽△A′B′C′且相似比为k，AD.A′D′分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′的角平分线
求证：
证明：∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′
又∵AD.A′D′分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′的角平分线，
∴△ADB∽△A′D′B′
归纳：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
一般的，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.
设计意图：通过类比思想解决问题，使学生深刻体会通过借助相似三角形证得比例线段解决数学问题的方法.
活动三：合作探究 归纳结论
1.合作探究：在以上数学活动经验基础上，尝试证明相似三角形对应周长、对应面积的比与相似比的关系，并与你的同伴分享你的结论.
追问：相似三角形面积的比等于相似比吗？
2.学生分享结论，重点分享相似三角形面积比与相似比的关系，教师适时点评，师生共同归纳结论.
【答案或提示】
已知：△ABC∽△A′B′C′且相似比为k.
求证：
证明：∵△ABC∽△A′B′C′且相似比为k.
已知：△ABC∽△A′B′C′且相似比为k，AD.A′D′分别为对应边BC和B′C′边上的高.
求证：
证明：∵△ABC∽△A′B′C′
∴即AD=kA′D′ BC=kB′C′
==
归纳：相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
设计意图：用代数运算得到相似三角形的周长比等于相似比的基础上，进一步运用代数运算得到相似三角形的面积比等于相似比的平方，体会代数运算在解决几何问题重点应用，突破本节课的重难点.
活动四：精讲例题 巩固新知
例3：在△ABC和△DEF中AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，若△ABC的边BC上的高为6，面积为，求△DEF的边EF上的高和面积.
【答案或提示】解：∵AB=2DE，AC=2DF
∴
∵∠A=∠D ∴ΔABC∽ΔDEF
∵ΔABC的边BC上的高为6，面积为
∴ΔDEF的边EF上的高为×6=3，面积为=
设计意图：让学生综合运用相似三角形的判定和性质求三角形线段的长度和面积，巩固新知，突破重点.
例：如图所示，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点H.
(1)
(2)设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大，最大值是多少？
【答案或提示】（1）利用相似三角形对应高的比等于相似比解决问题.
(2)通过相似三角形构造比例线段，把面积最大值问题转化为二次函数最值问题.
解：(1)在矩形EFPQ中， EF=PQ
∵EF∥PQ，∴△AEF∽△ABC
∵AD⊥BC
∴AD⊥EF于H
(2) ∵在△ABC中， BC=10，高AD=8，EF=x且
＜0，
∴
设计意图：训练学生综合运用相似三角形性质解决问题，并体会数形结合思想、转化思想、方程思想、函数思想在解决问题中的重要意义.
（三）课堂练习
1.教材39页1.2.3
2. 已知△ABC∽△A B C ，AD.A D 分别是对应边BC.B C 上的高，若BC＝8cm，
B C ＝6cm，AD＝4cm，则A D 等于（ ）
A. 16 cm B. 12 cm C. 3 cm D. 6 cm
3.两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应角平分线的比为（ ）
A. 7∶3 B. 49∶9 C. 9∶49 D. 3∶7
4.如图，ΔABC的面积为25，直线DE平行于BC分别交AB.AC于点D.E.
(1)如果ΔADE的面积为9， = . (2) DE把ΔABC分成面积相等的两部分，
.
答案： ，
设计意图：巩固基础知识，强化基础技能.
（四）课堂小结
谈谈这节课的收获是什么？试着分别从知识与技能、过程与方法等方面分享一下.
设计意图：从知识与技能、过程与方法等方面引导学生总结收获，在获得知识的同时，学得必要的数学学习方法，感悟数学思想方法的重要意义
（五）作业布置
A组：教材57页4.5，58页10.
B组：
1．如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（ C ）
A．6 B．9 C．12 D．13.5
【解析】由中位线定理，得到DE=BC，再根据相似三角形的判定和性质，面积的比等于相似比的平方，然后求出△ABC的面积．
【详解】解：∵点D和E分别是边AB和AC的中点，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△ODE∽△OCB，
∴，，
∴，，
∵△DOE的面积为1，
∴ ，
∴四边形BCED的面积为：1+2+2+4=9，
∴，
∴；
∴△ABC的面积为：；3×4=12
【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的掌握面积的比等于相似比的平方．
2.等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积1，△ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（ D　）
A．22 B．24 C．26 D．28
【解析】利用△AFH∽△ADE得到，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【详解】解：如图，由题意
根据题意得△AFH∽△ADE，所有三角形均相似，
可得FH：DE＝3：4，
∴
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，
∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，
∴S△ADE＝16，
∴四边形DBCE的面积＝44﹣16＝28．
故选：D．
3.有一块三角形余料ABC，它的边BC=120 mm，高AD=80 mm.如图1，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.
(1)求加工成的正方形零件的边长.
(2)如果要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成，如图2，此时，这个矩形零件的两条边长分别为多少？
(3)如果要加工的零件只是一个矩形，如图3，此时，这个矩形零件的两条边长不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求面积达到最大值时矩形零件的两条边长.
解(1)设正方形零件的边长为x mm，则PN=PQ=ED=x mm，
∴AE=AD-ED=(80-x)mm.
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，
∴解得x=48.
∴加工成的正方形零件的边长是48 mm.
(2)设PQ=y mm，则PN=2y mm， AE=(80-y)mm，
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，
∴， 解得y=∴2y=
∴这个矩形零件的两条边长分别为mm， mm.
(3)设PN=z mm，矩形PQMN的面积为S mm2
由题意可得△APN∽△ABC，
∴ 解得PQ=
则S=PN·PQ=z×（）=
故S的最大值为2 400，此时PN=60 mm， PQ=80-×60=40(mm).　
∴此时矩形零件的两条边长分别为60 mm，40 mm.
六、板书设计
27.2.2相似三角形的性质
1.相似三角形对应边相等，对应角相等.
2.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
3.相似三角形对应线段的比等于相似比.
4.相似三角形周长的比等于相似比.
七、教学反思
本节课类比全等三角形中重要几何量的对应关系猜想相似三角形对应几何量间的关系，根据积累的数学活动经验自主提出猜想，分解难点，然后引导学生思考：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线与相似比之间有什么关系呢？学生们进行了大胆猜想，答案基本是“相等”. 学生口述证明过程，得出结论. 接着类推相似多边形的周长比与相似比的关系.这样由浅入深，逐步理解探究出面积比与相似比的关系.
在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知，让学生充分体会数学知识之间的内在联系，以此激发学生的学习兴趣，能够使整个课堂气氛由沉闷变为活跃。尤其是我让学生自己走上讲台展示他们的学习所得，做到了将课堂回归给学生，学生的主体地位得到了很好的体现。此外，教师的肯定、表扬与鼓励，会使学生始终保持高昂的学习热情，感受在探究性学习、创造性劳动中获得成功的乐趣.
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