资源简介

19.2.2一次函数的概念
教学内容分析
一次函数是最简单的函数模型，通过对具体函数模型的研究，体会函数研究的一般步骤和方法，这有利于学习经验的积累和迁移.一次函数的学习可以类比正比例函数进行.在一次函数概念的教学中，核心的学习活动是让学生观察变量的变化规律，列出函数解析式，通过归纳函数解析式的共性概括一次函数的概念，在概念探索过程中可以让学生感受到函数的模型的思想.
教学目标
1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系；
2.能利用一次函数解决简单的实际问题.
教学重难点
【重点】理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系.
【难点】能利用一次函数解决简单的实际问题.
教学方法
问题启发法、观察归纳法、探究法.
教学过程
（一）问题导入
某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃.
（1）试用函数解析式表示y与x的关系；
y=5-6x
（2）它是正比例函数吗？为什么？
y=5-6x不是正比例函数，正比例函数没有常数项.
意图：用学生熟知的气温随海拔升高而降低的常识，来建立登山中的数量关系，来引入课题.让学生体会数学来源于生活，又可以用来解决实际问题.
效果：通过实际问题引入了课题.
新课讲授
一次函数的概念
问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
有人发现，在20 ℃～25 ℃时蟋蟀每分鸣叫次数c 与温度 t（单位：℃）有关，且 c 的值约是 t 的7 倍与35的差；
一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是，以cm为单位量出身高值 h ，再减常数105，所得差是G 的值；
（3）某城市的市内电话的月收费额 y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话 x min 的计时费（按0.1元/min收取）；
（4）把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形面积 y（单位：cm2）随x的值而变化．
问题2 观察以上出现的四个函数解析式，很显然它们不是正比例函数，那么它们有什么共同特征呢？
知识要点 一般地，形如y=kx+b （k， b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
一次函数的特点如下：
（1）解析式中自变量x的次数是1次；
（2）比例系数k≠0；
（3）常数项：通常不为0，但也可以等于0.
意图：通过四个实际问题得到四个数量关系，引导学生在分化和类比各题的特征中发现一类不同于正比例函数的函数，进而使学生在思考，对比、分析、类比，迁移中，经历一次函数的概念的构建过程.
效果：学生类比正比例函数概念的研究方法归纳出一次函数的概念.
思考：一次函数与正比例函数有什么关系？
（1）当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.
（2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
练一练 下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
；（2）；（3）；（4）；（5）；
；（7）；（8）.
解：（1）（4）（5）（7）（8）是一次函数，（1）是正比例函数.
例1 已知函数y=(m-1)x+1-m2
当m为何值时，这个函数是一次函数？
当m为何值时，这个函数是正比例函数？
解：（1）由题意可得m-1≠0，解得m≠1.
即m≠1时，这个函数是一次函数.
注意：利用定义求一次函数解析式时，必须保证：k ≠ 0；自变量x的指数是“1”
（2）由题意可得m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.
即m=-1时，这个函数是正比例函数.
做一做 已知一次函数 y=kx+b，当 x=1时，y=5；当x=-1时，y=1．求 k 和 b 的值．
解：因为当x=1时，y=5；当x=-1时，y=1
所以，解k=2，b=3.
意图：通过思考、辨析和习题中运用，加深学生对一次函数概念的理解.
效果：学生在思考中理解了一次函数的概念及要求.
一次函数的简单应用
例3 汽车油箱中原有油50升，如果汽车每行驶50千米耗油9升， 求油箱的油量y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围，y 是 x 的一次函数吗？
解：油量y与行驶时间x的函数关系式为：，
自变量x的取值范围是0≤x≤50.
函数是关于x的一次函数.
做一做 如果等腰三角形的周长是20cm，底边长是x（cm），那么腰长y(cm)与底边长x(cm)之间的函数解析式是什么？这个函数是一次函数吗？
解：，是一次函数.
意图：让学生在解决问题的过程中，体会一次函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型，感悟函数的思想.引导在学习交流中，认识到函数是解决现实问题的重要工具，增强应用数学的意识.
效果：学生初步掌握了一次函数解决实际问题的建模思想.
课堂练习
1.下列说法正确的是（ D ）
A.一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.正比例函数是一次函数
2.在函数①；②；③； ④中，是一次函数的有__①__②_____.
3. 要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数，n，m应满足n=2，m≠2.
4.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2 m/s．
求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式；
（2）求第2.5 s 时小球的速度；
（3）时间每增加1 s，速度增加多少，速度增加量是否随着时间的变化而变化？
解：（1）小球速度v关于时间t的函数解析式为v=2t.
（2）当t=2.5时，v=2×2.5=5(m/s).
（3）时间每增加1 s，速度增加2 m/s，速度增加量不随着时间的变化而变化.
意图：巩固加深学生对一次函数的概念的理解和运用情况.
效果：检测了学生对本节课知识的掌握和运用情况.
（四）课堂小结
教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，通过相互交流分享观点：
1.一次函数的概念：解析式：y=kx+b（k≠0）
2.一次函数的实际应用
意图：总结反思是一节课必不可少的环节，有助于学生巩固所学知识和技能，升华思想认识.
效果：学生对本节课所学知识有了系统的回顾.
（五）作业布置
完成配套练习
板书设计
19.2.2一次函数的概念
1.一次函数的概念：解析式：y=kx+b（k≠0）
2.一次函数的实际应用
七、教学反思
本节一次函数概念的学习是类比正比例函数的研究方法来进行的.在一次函数概念的教学中，核心的学习活动是让学生观察变量的变化规律，列出数量关系，通过观察、分析、思考、归纳概括一次函数的概念.在运用一次函数解决实际问题时，通过“具体——抽象——具体”的过程，使学生进一步加深对一次函数概念的认识，体会一次函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型，感悟函数的思想.引导在学习交流中，认识到函数是解决现实问题的重要工具，提高学习数学的自信心. 增强应用数学的意识.
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